光学部分⚓︎

光的干涉⚓︎

基本概念：

• 光程：光在介质中传播的路程 \(r\) 与介质折射率的乘积 \(nr\)
• 折射率 \(n = \dfrac{c}{u}\)，其中 \(c\) 为真空中波速，\(u\) 为介质中波速
• 光强 \(I\)：平均能流密度，与振幅平方成正比

• 波的干涉：

  • 相位差\(\Delta \varphi\) 与光程差\(\delta\) 的关系：\(\Delta \varphi = (\varphi_2 - \varphi_1) + \dfrac{2 \pi}{\lambda}\delta\)

  • 干涉加强 / 相消与相位差的关系：

    • \(\Delta \varphi = 2k\pi\) -> 加强 -> \(k\) 级明纹，此时光强 \(I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\)
    • \(\Delta \varphi = (2k - 1) \pi\) -> 相消 -> \(k\) 级暗纹，此时光强 \(I = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2}\)

  • 一般相干光初相位相同，因此 \(\Delta \varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda} \delta\)，常用结论为：

    • \(\delta = k \lambda\) -> 加强 -> \(k\) 级明纹
    • \(\delta = (k - \dfrac{1}{2})\lambda\) -> 相消 -> \(k\) 级暗纹

  • 两相干光束（初相相同）通过不同介质在某处相遇时的相位差为：\(\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}(n_2r_2 - n_1r_1)\)，因此光程差为 \(\delta = n_2r_2 - n_1r_1\)

双缝干涉⚓︎

双缝干涉模型如下所示：

其中：

• \(d\)：相干光源的距离
• \(D\)：光源到屏幕的距离
• \(x\)：所求点至中心 \(o\) 的距离

可以得到以下关系：

• 相位差：\(\Delta \varphi = (\varphi_1 - \varphi_2) - \dfrac{2\pi}{\lambda}(r_1 - r_2) = \dfrac{2\pi}{\lambda}(r_2 - r_1) \approx \dfrac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta\)（当 \(D \gg d\) 时，\(\delta = r_2 - r_1 \approx d \sin \theta\)）

  • 当 \(d \sin \theta = \pm k \lambda\) 时，\(\Delta \varphi = \pm 2k \pi(k = 0, 1, 2, \dots)\) -> 相长干涉，\(k\) 表示第 \(k\) 条亮纹（\(k = 0\) 时为中央亮纹）
  • 当 \(d \sin \theta = \pm (2k - 1) \dfrac{\lambda}{2}\) 时，\(\Delta \varphi = \pm (2k - 1) \pi(k = 1, 2, 3, \dots)\) -> 相消干涉，\(k\) 表示第 \(k\) 条暗纹
  • 当 \(D \gg x\) 时，\(\sin \theta \approx \tan \theta = \dfrac{x}{D}\)，可解得
    • 亮纹的位置：\(x = \pm k \dfrac{D}{d} \lambda\)
    • 暗纹的位置：\(x = \pm (2k - 1) \dfrac{D}{2d} \lambda\)
    • 条纹间距 \(\Delta x = \dfrac{D}{d}\lambda\)

• \(P\) 点处的光强：\(I_P = 4I \cos^2 \dfrac{\Delta \varphi}{2}\)

  • \(\Delta \varphi = \pm 2k \pi \rightarrow I_P = 4I\)
  • \(\Delta \varphi = \pm (2k - 1) \pi \rightarrow I_P = 0\)

• 复色光的双缝干涉中，红光在外，紫光在内

薄膜干涉⚓︎

• 等倾干涉：设扩展单色光源照射到平行平面薄膜，在 A 点产生反射和折射，形成 a、b 两光束

  
  • 半波损 \(\delta'\)：界面反射导致的相位跳变
  
  • 光程差：
  \[ \delta = 2e \sqrt{n_2^2 - n_1^2 \sin^2 i} + \delta' = \begin{cases}k \lambda, & k = 1, 2, 3, \dots \\ k \lambda + \dfrac{\lambda}{2}, & k = 0, 1, 2, \dots \end{cases} \]
  • 在等倾干涉条纹中，\(i \downarrow \rightarrow \delta \uparrow \rightarrow k \uparrow\)，因此中央处 \(k\) 最大

  • 光垂直照射薄膜时，光程差 \(\delta = 2n_2 e + \dfrac{\lambda}{2}\)

    
    • 相长干涉：\(\delta = k \lambda, k = 0, 1, 2\)
    • 相消干涉：\(\delta = k \lambda + \dfrac{\lambda}{2}, k = 0, 1, 2\)

• 等厚干涉：由于干涉薄膜上下表面不平行，造成反射光线 \(a_1\) , \(b_1\) 不平行，它们在薄膜上表面附近干涉

  
  • 光程差：\(\delta = 2n_2 e \cos r + \delta' = 2e\sqrt{n_2^2 - n_1^2 \sin^2 i} + \delta'\)

  • 在实际应用中，\(i = r = 0\)，因此 \(\delta = 2n_2e + \delta' = \begin{cases}k \lambda & k = 1, 2, 3, \dots \\ (2k+1) \dfrac{\lambda}{2} & k = 0, 1, 2, \dots \end{cases}\)

  • 劈尖干涉：

    

    • 明纹：

      • 光程差：\(\delta_{\text{light}} = 2e + \dfrac{\lambda}{2} = k \lambda, k = 1, 2, 3, \dots\)
      • 第 \(k\) 条明纹对应的厚度：\(e_{k, \text{light}} = \dfrac{k}{2}\lambda - \dfrac{\lambda}{4}\)

    • 暗纹：

      • 光程差：\(\delta_{\text{dark}} = 2e + \dfrac{\lambda}{2} = (2k + 1) \dfrac{\lambda}{2}, k = 0, 1, 2, \dots\)
      • 第 \(k\) 条暗纹对应的厚度：\(e_{k, \text{dark}} = \dfrac{k}{2}\lambda\)
      • \(e = 0\) 处为 0 级暗纹

    • 条纹间距 \(l = \dfrac{\lambda}{2\sin \theta}\)

    

  • 牛顿环：将一曲率半径很大的球冠置于一平板玻璃上，即构成牛顿环

    

    • 明纹：

      • 光程差：\(\delta_{\text{light}} = 2e + \dfrac{\lambda}{2} = k \lambda, k = 1, 2, 3, \dots\)
      • 条纹半径：\(r_{k, \text{light}} = \sqrt{\dfrac{(2k - 1)R\lambda}{2}}, k = 1, 2, 3, \dots\)

    • 暗纹：

      • 光程差：\(\delta_{\text{dark}} = 2e + \dfrac{\lambda}{2} = (2k + 1) \dfrac{\lambda}{2}, k = 0, 2, 3, \dots\)
      • 条纹半径：\(r_{k, \text{dark}} = \sqrt{kR\lambda}, k = 0, 1, 2, \dots\)

    • 厚度与条纹半径的关系：\(e = \dfrac{r^2}{2R}\)

光的衍射⚓︎

光的偏振⚓︎

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