绪论⚓︎

实验测量与误差分布⚓︎

测量四要素：被测对象、测量程序、测量准确度和计量单位

测量的分类：

• 直接测量
• 间接测量：通过计算实测的量得到欲测的量

• 可靠数字：通过直读获取的准确数字
• 存疑数字：通过估读得到的数字

有效数字：可靠数字 + 1 位存疑数字，其总位数被称为有效位数

误差的表示：

• 绝对误差 = 测量值 - 真值
• 相对误差（百分误差）\(E = \dfrac{|测量值 - 真值|}{真值} \times 100\%\)
• 标准误差（标准差）\(S = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n|绝对误差|^2}\)

误差分类：

误差的分布：

• 正态分布：测量值的均值 \(\mu\) 看作真值（无穷次测量）

  
  • 特点：单峰性、对称性、有界性、抵偿性
  • 消除系统误差后，\(\mu = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i\)，被称为数学期望值，表示 \(x\) 出现概率最大的值，作为 \(x\) 的近似真值
  • \(\sigma=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(x_i - \mu)^2}\) 被称为标准差，表现测量值的分散程度：\(\sigma\) 越大，曲线越平坦；\(\sigma\) 越小，曲线越陡峭
  • 单次测量值的标准偏差：\(s(x) = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}[\sum\limits_{k=1}^n(x_k - \overline{x})^2]}\)
  • 平均值的标准偏差：\(s(x) = \sqrt{\dfrac{1}{n(n-1)}[\sum\limits_{k=1}^n(x_k - \overline{x})^2]}\)

• 均匀分布：测量值一定会落在 \((-a, a)\) 区间内

• 精密度：多次重复测量值互相接近的程度
• 正确度：测量平均值接近真值的程度
• 准确度：对上面两个量度的综合评价

误差与不确定度⚓︎

不确定度：由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度，是一定概率下的误差限值。它反映了可能存在的误差分布范围，是一个正值。

不确定度的两个分量：

• A 类分量 \(u_A\)：多次重复测量时与随机误差有关的分量
• B 类分量 \(u_B\)：与未定系统误差有关的分量。

这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：

不确定度的类型：

• 直接测量的标准不确定度 \(u\)

  • 计算：分为 A 类评定和 B 类评定两部分
    • A 类评定：用统计方法评定的不确定度部分
    • B 类评定：用其他方法 ......
  • 估算过程：
    • 测量数据列的平均值：\(\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i\)
    • 平均值的标准偏差：\(s(\overline{x})=\dfrac{s(x)}{\sqrt{x}}= \sqrt{\dfrac{1}{n(n-1)}[\sum\limits_{k=1}^n(x_k - \overline{x})^2]}\)，当 \(6 \le n \le 10\)，置信概率为 68.3% 时，可简化认为 \(u_A \approx S(\overline{x})\)
    • 根据使用仪器得出 \(u_B\)
      • 高斯分布：\(u_B = \dfrac{\delta_仪}{3}\)
      • 均匀分布：\(u_B = \dfrac{\delta_仪}{\sqrt{3}}\)
    • 总合成不确定度：\(u = \sqrt{u_A^2 + u_B^2}\)
    • 最终结果：\(x = \overline{x} + u\)（单位）

• 间接测量的合成标准不确定度 \(u_c\)

  • 设 \(y = f(x_1, x_2, \dots, x_i, \dots, x_n)\)
  • 不确定度的计算公式
    • 公式 1（常用于和差形式的函数）：\(u_c = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n[\dfrac{\partial f}{\partial x}u(x_i)]^2}\)
    • 公式 2（常用于积商形式的函数）：\(\dfrac{u_c}{y} = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(\dfrac{\partial \ln f}{\partial x})^2[u(x_i)]^2}\)

• 扩展不确定度 \(U\)

有效数字与实验数据处理⚓︎

有效数字的表示法：

• 修约：以修约书代替已知数
  • 修约区间：约定的最小变化间距
  • 修约规则：“四舍六入五单双”
    • 四以下舍掉，六以上进一
    • 遇五的话：若前面是奇数就进一，最后一位就变成偶数；若前面是偶数则舍掉
• 有效数值的位数与小数点位置无关，不因使用单位的不同而改变

数值书写的要求：

• 有效数字的位数是由合成不确定度来确定的。测量值的最后一位应与不确定度的最后一位对齐
• 对较大或较小的数值，常采用科学计数法
• 若结果是有间接测量得到的，其有效数字由算出结果的不确定度来确定的。若没有给出各数值的不确定度，由有效数字运算法则确定

数据处理方法：

• 列表法
• 逐差法
• 作图法
• 最小二乘法

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