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题目整理⚓︎

以下题目来自教材课后习题和历年卷上的题目,供复习参考。

答案都是基于我自己的思考后再写的,不是完全抄参考答案的,不然就没什么复习效果了。

有些题目我没有给出答案,只是列出我摘录的理由,起到警醒自己的作用。

题目格式:

题目

题目内容

解答

答案略 (bushi)

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2 ⚓︎

3 ⚓︎

题目

解答

(1) 小题和第 (3) 小题略,解得 c=6c = 6

下面只分析第 (2) 小题:

  • Z=X+YZ = X + Y,题目转化为求 P(Z1)=FZ(1)P(Z \le 1) = F_Z(1)
    • FZ(z)=zfZ(t)dtF_Z(z) = \int_{-\infty}^zf_Z(t)\text{d}t
    • 概率密度函数:\(f_Z(z) & = \int_{-\infty}^{+\infty}f(z - y, y)\text{d}y\)
    • 计算(尤其注意 yy 的积分范围

    下面就是一通二重积分的计算,要注意的是积分变量的范围,这个很容易搞错(这也是我摘录这道题的原因)

    FZ(1)=01z2z6(2yz)dydz=01(6y26zy)z2zdz=0132z2dz=12z301=12 \begin{align} F_Z(1) & = \int_0^1 \int_{\frac{z}{2}}^{z} 6(2y - z) \text{d}y \text{d}z \notag \\ & = \int_0^1 (6y^2 - 6zy) \Big|_{\frac{z}{2}}^z \text{d}z \notag \\ & = \int_0^1 \dfrac{3}{2}z^2 \text{d}z \notag \\ & = \dfrac{1}{2}z^3 \Big|_0^1 \notag \\ & = \dfrac{1}{2} \notag \end{align}

题目

解答

很容易得到 fZ(z)=+f(zy,y)dy=+3z3dyf_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(z - y, y)\text{d}y = \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{3 - z}{3}\text{d}y,麻烦的点在于确定 yy 的积分范围——除了题目给出的 0<y<20 < y < 2 之外,我们还可以得到另一个范围:0<zy<10 < z - y < 1,即 z1<y<zz - 1 < y < z,因此需要分类讨论。请务必仔细计算各种情况下的密度函数,答案就不列出来了,计算不难。

4 ⚓︎

题目

解答
  • 这道题的二维随机变量服从均匀分布,联合密度函数为取值范围(面积)的倒数
  • (1) 小题的期望计算类似一维随机变量,但是要用联合密度函数 + 二重积分
  • (2) 小题
    • 令平均距离 Z=X2+Y2Z = \sqrt{X^2 + Y^2},原题转化为求 E(Z)E(Z)
    • FZ(z)=P(Zz)=P(X2+Y2z2)=πz2πr2=z2r2F_Z(z) = P(Z \le z) = P(X^2 + Y^2 \le z^2) = \dfrac{\pi z^2}{\pi r^2} = \dfrac{z^2}{r^2}
    • fZ(z)=2zr2f_Z(z) = \dfrac{2z}{r^2}
    • E(Z)=0rzfZ(z)dz=0r2z2r2dz=2r3E(Z) = \int_0^r zf_Z(z) \text{d}z= \int_0^r \dfrac{2z^2}{r^2} \text{d}z = \dfrac{2r}{3}

题目

解答
  • 本题难点在于对随机变量 XX 进行适当的转化
  • Xi={1ith card is selected at least once0ith card is never selectedX_i = \begin{cases}1 & \text{ith card is selected at least once} \\ 0 & \text{ith card is never selected}\end{cases}
  • 那么 X=i=1nXiX = \sum\limits_{i=1}^n X_i
  • 所以 E(X)=E(i=1nXi)=i=1nE(Xi)=nE(X1)=n1(n1)nnn=nn(n1)nnn1E(X) = E(\sum\limits_{i=1}^n X_i) = \sum\limits_{i=1}^n E(X_i) = nE(X_1) = n \dfrac{1 - (n - 1)^n}{n^n} = \dfrac{n^n - (n - 1)^n}{n^{n - 1}}
  • limn+E(Xn)=limn+nn(n1)nnn=limn+1(11n)n=11e\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} E(\dfrac{X}{n}) =\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{n^n - (n - 1)^n}{n^n} = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1 - (1 - \dfrac{1}{n})^n = 1 - \dfrac{1}{e}

题目

解答
  • 本题难点在于如何构造并转化随机变量(和上一题类似)
  • 令随机变量 XiX_i 为第 ii 个点距原点的距离,由题意易知 XiU(0,1)X_i \sim U(0, 1),且 X1,,XnX_1, \dots, X_n 独立同分布
  • 令随机变量 ZZ 为相距最远的两个点的距离,可以推出:

    Z=max{X1,,Xn}min{X1,,Xn} Z = \max\{X_1, \dots, X_n\} - \min\{X_1, \dots, X_n\}
  • M=max{X1,,Xn}, N=min{X1,,Xn}M = \max\{X_1, \dots, X_n\},\ N = \min\{X_1, \dots, X_n\},那么:

    • FM(m)=P(Mm)=P(X1m)P(Xnm)=[F(m)]n=mnF_M(m) = P(M \le m) = P(X_1 \le m) \dots P(X_n \le m) = [F(m)]^n = m^n
    • FN(t)=P(Nt)=1P(N>t)=1P(X1>t)P(Xn>t)=1[1F(t)]n=1(1t)nF_N(t) = P(N \le t) = 1 - P(N > t) = 1 - P(X_1 > t)\dots P(X_n > t) = 1 - [1 - F(t)]^n = 1 - (1 - t)^n
    • fM(m)=nmn1,fN(n)=n(1t)n1f_M(m) = nm^{n-1}, f_N(n) = n(1 - t)^{n - 1}
  • 因此

    E(Z)=E(M)E(N)=01nmndm01n(1t)n1tdt=n1n+1 \begin{align} E(Z) & = E(M) - E(N) \notag \\ & = \int_0^1 nm^n \text{d}m - \int_0^1 n(1 - t)^{n-1}t \text{d}t \notag \\ & = \dfrac{n - 1}{n + 1} \notag \end{align}

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综合题⚓︎

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