题目整理
注
以下题目来自教材课后习题和历年卷上的题目,供复习参考。
答案都是基于我自己的思考后再写的,不是完全抄参考答案的,不然就没什么复习效果了。
有些题目我没有给出答案,只是列出我摘录的理由,起到警醒自己的作用。
题目格式:
第 1 章
第 2 章
第 3 章
题目
解答
第 (1) 小题和第 (3) 小题略,解得 c=6
下面只分析第 (2) 小题:
题目
解答
很容易得到 fZ(z)=∫−∞+∞f(z−y,y)dy=∫−∞+∞33−zdy,麻烦的点在于确定 y 的积分范围——除了题目给出的 0<y<2 之外,我们还可以得到另一个范围:0<z−y<1,即 z−1<y<z,因此需要分类讨论。请务必仔细计算各种情况下的密度函数,答案就不列出来了,计算不难。
第 4 章
题目
解答
- 这道题的二维随机变量服从均匀分布,联合密度函数为取值范围(面积)的倒数
- 第 (1) 小题的期望计算类似一维随机变量,但是要用联合密度函数 + 二重积分
- 第 (2) 小题
- 令平均距离 Z=X2+Y2,原题转化为求 E(Z)
- FZ(z)=P(Z≤z)=P(X2+Y2≤z2)=πr2πz2=r2z2
- fZ(z)=r22z
- E(Z)=∫0rzfZ(z)dz=∫0rr22z2dz=32r
题目
解答
- 本题难点在于对随机变量 X 进行适当的转化
- 令 Xi={10ith card is selected at least onceith card is never selected
- 那么 X=i=1∑nXi
- 所以 E(X)=E(i=1∑nXi)=i=1∑nE(Xi)=nE(X1)=nnn1−(n−1)n=nn−1nn−(n−1)n
- n→+∞limE(nX)=n→+∞limnnnn−(n−1)n=n→+∞lim1−(1−n1)n=1−e1
题目
解答
- 本题难点在于如何构造并转化随机变量(和上一题类似)
- 令随机变量 Xi 为第 i 个点距原点的距离,由题意易知 Xi∼U(0,1),且 X1,…,Xn 独立同分布
-
令随机变量 Z 为相距最远的两个点的距离,可以推出:
Z=max{X1,…,Xn}−min{X1,…,Xn}
-
令 M=max{X1,…,Xn}, N=min{X1,…,Xn},那么:
- FM(m)=P(M≤m)=P(X1≤m)…P(Xn≤m)=[F(m)]n=mn
- FN(t)=P(N≤t)=1−P(N>t)=1−P(X1>t)…P(Xn>t)=1−[1−F(t)]n=1−(1−t)n
- fM(m)=nmn−1,fN(n)=n(1−t)n−1
-
因此
E(Z)=E(M)−E(N)=∫01nmndm−∫01n(1−t)n−1tdt=n+1n−1
第 5 章
第 6 章
第 7 章
第 8 章
综合题
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