数值分析⚓︎

课程信息

上课顺序为：1 -> 2 -> 6 -> 7 -> 9 -> 3 -> 8 -> 4 -> 5，建议复习的时候也按这个顺序来。

笔记（打印版）

27 MB / 105 P / 2025-06-20

剩下三章不会介绍，但这里还是列一下标题：

可能有用的东西

泰勒展开式的一般形式：\(f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \dots\)
常用的泰勒展开式：
- 指数函数：\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)（收敛半径：\(\infty\)）
- 正弦函数：\(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)（收敛半径：\(\infty\)）
- 余弦函数：\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\)（收敛半径：\(\infty\)）
- 自然对数函数：\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}\)（收敛区间：\((-1, 1]\)）
- 几何级数（或二项式展开的特例）：\(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n\)（收敛区间：\((-1, 1)\)）
- 推广的二项式定理：\((1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n\)，其中 \(\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}\)（收敛区间：\((-1, 1)\)，当 \(\alpha\) 为非负整数时，级数是有限项的）

参考资料

PPT、教材
Jiepeng 学长的笔记
CrazySpottedDove 的笔记：记录了很多 hj 老师课上提到的一些很有价值的观点（~~但笔者没好好听课，所以就参考这位大佬的笔记了 hh~~）
Fundamentals of Numerical Computation：MIT 18.330 数值分析课程的教材。实际上我并没有参考这本书（~~发现的时候离期末考只剩 2 天了（悲）~~），但看起来挺不错的，所以就放在这里了。

复习提纲 by hj 老师

243 KB / 2 P / 2025-06-06

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