第 1 章 概率论的基本概念⚓︎
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样本空间,随机事件⚓︎
概念⚓︎
随机试验的特点:
- 可以在相同的条件下重复进行
- 每次试验可能出现的结果是不确定的,但能事先知道试验的所有可能结果
- 每次试验完成前不能预知哪一个结果会发生
- 样本空间:随机试验的所有可能结果构成的集合,包括:
- 有限样本空间
- 无限样本空间
- 可数(与自然数集一一对应)
- 不可数(任意实数区间)
- 样本点:随机试验的每一个结果
- 随机事件(简称事件
) :样本空间的任一子集 - 基本事件:只含有一个样本点的事件
- 事件发生:试验所出现的结果(即样本点)属于某一事件,即这一事件所包含的样本点恰好为此次试验的结果
- 样本空间 \(S\) 可视为一事件,这样的事件必定发生,被称为必然事件
- 空集 \(\emptyset\) 也可视为一事件,被称为不可能事件
基本运算⚓︎
- 包含 / 包含于:\(A \supset B/B \subset A\)
- 相等:\(A = B \Leftrightarrow (A \subset B) \wedge (B \subset A)\)
- 和事件:\(A \cup B = \{x: x \in A \ \mathrm{or}\ x \in B\}\)
- 有限个事件:\(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\)
- 无限个事件:\(\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty} A_i\)
- 积事件:\(A \cap B = AB = \{x: x \in A \ \mathrm{and}\ x \in B\}\)
- 有限个事件:\(\bigcap\limits_{i=1}^n A_i\)
- 无限个事件:\(\bigcap\limits_{i=1}^{+\infty} A_i\)
- 互不相容 / 互斥:\(A \cap B = \emptyset\)
- 逆事件 / 对立事件:\((A \cap B = \emptyset) \wedge (A \cup B = S)\),记作 \(\overline{A}\),即 \(\overline{A} = \{x: x \notin A\}\)
- 差事件:\(A - B = A \cap \overline{B} = \{x: x \in A \wedge x \notin B\}\)
维恩图:
运算规则:
- 交换律:
- \(A \cup B = B \cup A\)
- \(A \cap B = B \cap A\)
- 结合律
- \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\)
- \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\)
- 分配律
- \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
- \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
- 德摩根定律
- \(\overline{\bigcup\limits_{j=1}^n A_j} = \bigcap\limits_{j=1}^n \overline{A_j}\)
- \(\overline{\bigcap\limits_{j=1}^n A_j} = \bigcup\limits_{j=1}^n \overline{A_j}\)
频率与概率⚓︎
频率⚓︎
- 频数 \(n_A\):事件 \(A\) 在 \(n\) 次重复试验中发生的次数(\(0 \le n_A \le n\))
- 频率 \(f_n(A) = \dfrac{n_A}{n}\)
频率的性质:
- 对任一事件 \(A\),\(0 \le f_n(A) \le 1\)
- \(f_n(S) = 1\)
- 若 \(A \cap B = \emptyset\),则 \(f_n(A\ cup B) = f_n(A) + f_n(B)\)
- 扩展版:若 \(A_1, A_2, \dots, A_k(k \ge 3)\) 两两互斥时, $$ f_n(\bigcup\limits_{j=1}^k A_j) = \sum\limits_{j=1}^kf_n(A_j) $$
概率⚓︎
- 定义 1:\(A\) 的频率 \(f_n(A)\) 的稳定值 \(p\) 被认为是事件 \(A\) 的概率。
-
定义 2:设样本空间 \(S\) 的任一事件 \(A\),定义一个实数 \(P(A)\),若它满足以下三条公理:
- 非负性:\(P(A) \ge 0\)
- 规范性:\(P(S) = 1\)
- 可列可加性:对 \(S\) 中可列个两两互斥的事件 \(A_1, A_2, \dots, A_n, \dots\)(即 \(A_iA_j=\emptyset, i \ne j, i, j = 1, 2, \dots\)
) ,有 \(P(\bigcap\limits_{j=1}^{+\infty}A_j) = \sum\limits_{j=1}^{+\infty}P(A_j)\)
则称 \(P(A)\) 为事件 \(A\) 发生的概率。
根据定义 2,可以引申出以下性质:
- 有限可加性:对于有限个两两互斥的事件,有 \(P(\bigcap\limits_{j=1}^{n}A_j) = \sum\limits_{j=1}^{n}P(A_j)\)
- \(P(A) = 1 - P(\overline{A})\)
- \(P(\emptyset) = 0\)
- 当 \(A \supset B\) 时,\(P(A-B) = P(A) - P(B) \Rightarrow P(A) \ge P(B)\)
- \(P(A) \le P(S) = 1\)
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)
- 推广: $$ \begin{align} P(\bigcup\limits_{j=1}^n A_j) = & \sum\limits_{j=1}^nP(A_j) - \sum\limits_{i < j}(A_iA_j) + \sum\limits_{i < j < k}P(A_iA_jA_k) - \dots + \notag \ & (-1)^{n-1}P(A_1A_2 \dots A_n),\quad n \ge 1 \notag \end{align} $$
等可能概型⚓︎
一个随机试验,如果满足下列性质:
- 有限性:样本空间的样本点数有限
- 等可能性:每一个样本点出现的概率相等
那么称这个试验为等可能概型 / 古典概型
若样本空间为 \(S = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}(n \ge 1)\),随机事件 \(A = \{e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_l}\}\),其中 \(i_1, \dots, i_l\) 是 \(1, 2, \dots, n\) 中某 \(l(l \ge 1)\) 个不同的值,则:
\[
P(A) = P(\bigcup\limits_{j=1}^l\{e_{i_j}\}) = \sum\limits_{j=1}^lP(\{e_{i_j}\}) = \dfrac{1}{n}
\]
例题
这些题目虽然不难,但是它们的计算结果都有些出乎意料,还挺有意思的。
条件概率⚓︎
事件的独立性与独立检验⚓︎
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