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Linear Algebra⚓︎

约 1746 个字 预计阅读时间 9 分钟

本讲简单回顾一下在高中和大学就学过的有关线性代数的一些知识，难度不大，包括：

  • 向量：点积，叉积，...
  • 矩阵：矩阵 - 矩阵，矩阵 - 向量乘法，...

相关的例子有：

  • 一个点可以用一个向量表示
  • 对物体的平移 (translation) 或旋转 (rotation) 操作能被表示成矩阵 - 向量乘法

Vectors⚓︎

向量的定义：

  • 通常写作 \(\vec{a}\)，粗体 \(\bm{a}\)，或用起始和终止断点表示 \(\overrightarrow{AB} = B - A\)
  • 能同时表示方向和长度
  • 没有绝对的起始位置

注意

不知道什么原因，Latex 的 \vec 语法无法在 mkdocs 上成功渲染（比如上面“通常写作”的那个是本来应该带箭头的，但可以看到在 mkdocs 上只有光秃秃的字母），所以原本课件中带箭头的向量写法全被我换成了粗体写法，请见谅🙏

向量的归一化(normalization)：

  • 向量的大小 (magnitude)（长度）写作 \(\|\bm{a}\|\)
  • 单位向量(unit vector)：大小为 1 的向量
    • 计算任意非零向量的单位向量：\(\hat{a} = \bm{a} / \|\bm{a}\|\)
    • 一般用于表示方向

向量加法：

  • 几何上，平行四边形法则或三角形法则

  • 代数上，就是坐标的相加

笛卡尔坐标系(Cartesian coordinates)

  • \(X, Y\) 可以是任意的（但通常是正交的(orthogonal) 单位 (unit)）向量
\[ A = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix},\ A^T = (x, y),\ \|A\| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Vector Multiplication⚓︎

Dot Product⚓︎

注

GAMES101 课程考虑的都是右手坐标系，比如 OpenGL。但像 Unity 等 API 是左手坐标系，所以实际运用时需要留心。

  • \(\bm{a} \cdot \bm{b} = \|\bm{a}\|\|\bm{b}\| \cos \theta\)
  • \(\cos \theta = \dfrac{\bm{a} \cdot \bm{b}}{\|\bm{a}\|\|\bm{b}\|}\)
  • 对于单位向量，\(\cos \theta = \hat{a} \cdot \hat{b}\)

  • 性质：

    • \(\bm{a} \cdot \bm{b} = \bm{b} \cdot \bm{a}\)
    • \(\bm{a} \cdot (\bm{b} + \bm{c}) = \bm{a} \cdot \bm{b} + \bm{a} \cdot \bm{c}\)
    • \((k\bm{a}) \cdot \bm{b} = \bm{a} \cdot (k\bm{b}) = k(\bm{a} \cdot \bm{b})\)

  • 在笛卡尔坐标系中：逐元素相乘再相加

    • 2D：\(\bm{a} \cdot \bm{b} = \begin{pmatrix}x_a \\ y_a\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_b \\ y_b\end{pmatrix} = x_a x_b + y_a y_b\)
    • 3D：\(\bm{a} \cdot \bm{b} = \begin{pmatrix}x_a \\ y_a \\ z_a\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b\)

  • 在图形学中的应用

    • 计算两向量间的夹角，比如计算光源和曲面之间夹角的余弦值

    • 计算一个向量在另一个向量上的投影(projection)

      • \(\bm{b}_\perp\)：\(\bm{b}\) 在 \(\bm{a}\) 上的投影
        • \(\bm{b}_\perp\) 必须和 \(\bm{a}\)（或 \(\hat{a}\)）在同一直线上
        • 大小 \(k = \|\bm{b}_\perp\| = \|\bm{b}\| \cos \theta\)

    • 测量两个方向的相近程度（比如余弦相似度）

    • 分解向量

    • 确定向量朝前还是朝后

Cross Product⚓︎

  • 叉积(cross product) 和两个初始向量正交
  • 通过右手螺旋定则确定叉积向量的方向
  • 有助于构建坐标系
  • 性质：
    • \(\bm{x} \times \bm{y} = +\bm{z}, \bm{y} \times \bm{x} = -\bm{z}\)
    • \(\bm{y} \times \bm{z} = +\bm{x}, \bm{z} \times \bm{y} = -\bm{x}\)
    • \(\bm{z} \times \bm{x} = +\bm{y}, \bm{x} \times \bm{z} = -\bm{y}\)
    • \(\bm{a} \times \bm{b} = -\bm{b} \times \bm{a}\)（注意负号）
    • \(\bm{a} \times \bm{a} = \bm{0}\)
    • \(\bm{a} \times (\bm{b} + \bm{c}) = \bm{a} \times \bm{b} + \bm{a} \times \bm{c}\)
    • \(\bm{a} \times (k\bm{b}) = k(\bm{a} \times \bm{b})\)
  • 笛卡尔公式：\(\bm{a} \times \bm{b} = A^* \bm{b} = \begin{pmatrix}0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_a z_b - y_b z_a \\ z_a x_b - x_a z_b \\ x_a y_b - y_a x_b\end{pmatrix}\)
  • 在图形学中的应用：
    • 确定向左还是向右
      • 举例：如果 \(\bm{b}\) 在 \(\bm{a}\) 的左侧，那么 \(\bm{a} \times \bm{b}\) 的结果是正的（对于右手坐标系）
    • 确定向内还是向外

      • 举例：如何证明 \(P\) 点是在三角形的内部？

        假定三角形三条边对应的向量按逆时针方向排列。先看 \(\overrightarrow{AB}\) 和 \(\overrightarrow{AP}\)，\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP}\) 的结果是垂直纸面向外的，因此 \(P\) 点在 \(AB\) 的左侧。同理可得 \(P\) 点也在 \(BC, CA\) 的左侧，因此 \(P\) 点在三角形内部。

        如果向量是沿顺时针方向排列的话，那么 \(P\) 点就在三条向量的右侧。所以只要 \(P\) 点在三条向量的同一侧，就能说明 \(P\) 在三角形内部。

Orthonormal Bases and Coordinate Frames⚓︎

  • 对表示点和位置而言很重要
  • 通常有很多组坐标系
  • 关键问题是在这些系统 / 基内转换（下一讲介绍）

  • 任意一组满足以下条件的三个向量（3D）可用于定义一个坐标系

    \[ \|\bm{u}\| = \|\bm{v}\| = \|\bm{w}\| = 1 \\ \bm{u} \times \bm{v} = \bm{v} \times \bm{w} = \bm{u} \times \bm{w} = 0 \\ \bm{w} = \bm{u} \times \bm{v} \quad \text{right-handed} \]

    在这个坐标系上的任意向量 \(\bm{p} = \underbrace{(\bm{p} \times \bm{u})}_{\text{projection}} \bm{u} + (\bm{p} \times \bm{v}) \bm{v} + (\bm{p} \times \bm{w}) \bm{w}\)

Matrices⚓︎

  • 几乎所有 CS 的课都会涉及到矩阵（2 维数组）
  • 在图形学中，矩阵普遍用于表示变换(transformations)，包括平移、旋转、剪切、缩放等（具体细节请见下一讲）
  • 矩阵是一个 \(m \times n\)（\(m\) 行 \(n\) 列）的数组
  • 带标量的加法和乘法是很简单的——逐元素做

  • 矩阵 - 矩阵乘法：\(A \times B\) 中，\(A\)（大小为 \(M \times N\)）的列数必须和 \(B\)（大小为 \(N \times P\)）的行数相等（结果大小为 \(M \times P\)）

    \[ \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 6 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 8 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 27 & 33 & 13 \\ 19 & 44 & 61 & 26 \\ 8 & 28 & 32 & 12\end{pmatrix} \]
    • 乘积中元素 \((i, j)\) 是 \(A\) 的第 \(i\) 行和 \(B\) 的第 \(j\) 列的点积
    • 性质：
      • 无交换律，\(AB\) 和 \(BA\) 一般是不同的
      • 结合律和分配律
        • \((AB)C = A(BC)\)
        • \(A(B+C) = AB + AC\)
        • \((A+B)C = AC + BC\)

  • 矩阵 - 向量乘法

    • 将向量看作是一个只有一列的矩阵（\(m \times 1\)）

    • 变换点的关键（下一讲介绍），比如关于 \(y\) 轴的 2D 反射

      \[ \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x \\ y\end{pmatrix} \]

  • 矩阵转置(transpose)

    • 交换行和列（\(ij \rightarrow ji\)）

      \[ \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{pmatrix} \]

    • 性质：\((AB)^T = B^T A^T\)

  • 单位矩阵(identity matrix)：主对角线（左上 -> 右下）上的元素均为 1，其他元素均为 0

    \[ I_{3 \times 3} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

  • 矩阵的逆(inverses)

    • \(AA^{-1} = A^{-1}A = I\)
    • \((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\)

  • 向量乘法的矩阵形式

    • 点积

      \[ \begin{align*} & \bm{a} \cdot \bm{b} = \bm{a}^T \bm{b} \\ = & \begin{pmatrix}x_a & y_a & z_a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix} = (x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b) \end{align*} \]

    • 叉积

      \[ \bm{a} \times \bm{b} = A^* \bm{b} = \underbrace{\begin{pmatrix}0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\end{pmatrix}}_{\text{dual matrix of vector } \bm{a}} \begin{pmatrix}x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix} \]

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