Materials and Appearances⚓︎

Material⚓︎

自然界中的材质：

CG 中的材质：

从数学角度看，材质(materials) 就是渲染方程中的 BRDF。下面列举一些常见的材质：

• 漫反射 / 朗伯(diffuse/Lambertian) 材质

  • 原理图：

    

  • 渲染效果：

    

  

  • 假设入射光线的分布是均匀的，辐射率也是一样的；并且出射光线也是均匀分布，与入射光的辐射率一样（能量守恒），那么

    \[ \begin{aligned}L_o(\omega_o)&=\int_{H^2}f_rL_i(\omega_i)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i\\&=f_rL_i\int_{H^2}(\omega_i)\cos\theta_i\mathrm{~d}\omega_i\\&=\pi f_rL_i\end{aligned} \]

    假设 \(f_r, L_i\) 这两项是常数

  • 其中 \(f_r = \dfrac{\rho}{\pi}\)，其中 \(\rho\) 叫做反射率(albedo)（取值范围：[0, 1]），和颜色相关

• 光泽(glossy) 材质

  • 原理图：

    

  • 渲染效果：

    

• 理想反射 / 折射(ideal reflection/refraction) 材质

  • 原理图：

    

  • 渲染效果：

    
    • 对于右图，部分折射光被吸收，所以呈现颜色

Reflection⚓︎

完美的镜面反射 (perfect specular reflection)：

反射的两种理解：

• 极角(polar angle)：

  
  \[ \begin{align*} \omega_o + \omega_i &= 2 \cos \theta \vec{n} = 2 (\omega_i \cdot \vec{n}) \vec{n} \\ \omega_o &= -\omega_i + 2 (\omega_i \cdot \vec{n}) \vec{n} \end{align*} \]

• 方位角(azimuthal angle)：

  
  \[ \varphi_o = (\varphi_i + \pi) \bmod 2\pi \]

渲染效果：

Refraction⚓︎

光线除了从物体表面上反射出去，也有可能通过折射穿过表面。当进入新的介质时，光的折射发生。

• 右下角关于海水的那幅图涉及到焦散(caustic) 现象：由光线集中所形成的弯曲、明亮的图案，比如图中海水上的光纹

关于光的折射有一个著名的物理定律，即斯涅尔定律(Snell's Law)（又称折射定律(law of refraction)）。该定律指出，透射角度取决于入射光和出射光的折射率(IOR, index of refraction)，具体满足的关系如下： $$ \eta_i \sin \theta_i = \eta_t \sin \theta_t $$

方向角的计算和反射类似： $$ \varphi_t = \varphi_i \pm \pi $$

常见材质的折射率如下：

根据折射定律，在已知入射光和出射光的折射率，以及入射角的情况下，就能计算出射角的大小了：

该式子成立的前提是算术平方根内的式子不小于 0。一旦小于 0，就说明出现了全反射(total internal reflection) 的现象。此时 \(\dfrac{\eta_i}{\eta_t} > 1\)，即入射光的反射率大于出射光的反射率。

一种常见的光学现象背后的原理正是全反射，它就是斯涅尔窗 / 圆(Snell's window / circle)：从水底往上看时，我们只能看到一块圆形区域内的光照，区域外是一片黑暗。示意图如下：

Fresnel Term⚓︎

菲涅尔项(Fresnel term)：反射率 (reflectance) 取决于入射角度（以及光的偏振 (polarization)）。

上面的例子反映了反射率随掠射角(grazing angle)（入射光线与法线的夹角）增大（即入射光越靠近表面）而增加（桌子上书本和墙壁的反光越明显）。

不同物体的菲涅尔项（横轴表示掠射角，纵轴表示反射率；图中的两条虚线表示考虑偏振的情况，不过一般无需考虑）

• 电介质 (dielectric)（\(\eta = 1.5\)）

  

• 导体 (conductor)

  
  补充

  导体的折射率是复数（不是负数）

菲涅尔项的计算公式：

• 精确版：考虑偏振

  \[ \begin{align*} R_\mathrm{s}&=\left|\frac{n_1\cos\theta_\mathrm{i}-n_2\cos\theta_\mathrm{t}}{n_1\cos\theta_\mathrm{i}+n_2\cos\theta_\mathrm{t}}\right|^2=\left|\frac{n_1\cos\theta_\mathrm{i}-n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_\mathrm{i}\right)^2}}{n_1\cos\theta_\mathrm{i}+n_2\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_\mathrm{i}\right)^2}}\right|^2 \\ R_\mathrm{p}&=\left|\frac{n_1\cos\theta_\mathrm{t}-n_2\cos\theta_\mathrm{i}}{n_1\cos\theta_\mathrm{t}+n_2\cos\theta_\mathrm{i}}\right|^2=\left|\frac{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_\mathrm{i}\right)^2}-n_2\cos\theta_\mathrm{i}}{n_1\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_\mathrm{i}\right)^2}+n_2\cos\theta_\mathrm{i}}\right|^2 \\ R_{\text{eff}} & = \dfrac{1}{2} (R_\mathrm{s} + R_\mathrm{p}) \end{align*} \]

• 近似版：施利克近似(Schlick’s approximation)

  \[ \begin{aligned}R(\theta)&=R_0+(1-R_0)(1-\cos\theta)^5\\R_{0}&=\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2\end{aligned} \]

精确版计算过于麻烦，所以在 CG 中如果不做很高的要求，一般就用近似版。

Microfacet Material⚓︎

引入

如图所示，这是从太空拍摄的地球图片。图中一块明亮的部分正是澳大利亚，看起来像一块平滑的表面。但实际上地球表面地形复杂，还有很多建筑，所以不可能是光滑的，但从远处看我们就难以观察这些细节了——这正是微表面材质的思路。

微表面(microfacet) 的理论：

• 对于实际上粗糙的表面

  • 宏观角度（材质）看：平坦而粗糙
  • 微观角度（几何）看：崎岖而光滑

• 表面上的单个元素就像镜子一样

  • 称为微表面
  • 每个微表面都有自己的法线

微表面 BRDF 的关键是微表面法线的分布

• 法线分布聚集 <==> 看起来像镜面反射

  

• 法线分布发散 <==> 看起来像漫反射

  

下面来看什么样的微表面会将来自 \(w_i\) 方向的光线沿 \(w_o\) 方向反射： $$ f(\mathbf{i},\mathbf{o})=\frac{\mathbf{F}(\mathbf{i},\mathbf{h})\mathbf{G}(\mathbf{i},\mathbf{o},\mathbf{h})\mathbf{D}(\mathbf{h})}{4(\mathbf{n},\mathbf{i})(\mathbf{n},\mathbf{o})} $$

其中（\(\mathbf{h}\) 表示半向量，即 \(\mathbf{i},\mathbf{o}\) 的角平分线）：

• \(\mathbf{F}(\mathbf{i},\mathbf{h})\)：菲涅尔项
• \(\mathbf{G}(\mathbf{i},\mathbf{o},\mathbf{h})\)：阴影遮罩项（几何项）
  • 有些微表面的光可能会被挡住（自遮挡），尤其是在光线从偏水平方向入射时更容易发生
• \(\mathbf{D}(\mathbf{h})\)：法线分布

例子

Isotropic / Anisotropic Materials⚓︎

例子

我们知道，电梯间内部一般都是金属。但顶上的光线打在表面上的结果和之前讲的有些不同——如上图所示，这些光在表面形成了多条亮线。这是因为这些金属是打磨过的，表面和一般的金属并不一样。这样的金属表面具有各向异性(anisotropy)。

各向同性和各向异性的区别来自底层表面的方向性(directionality)：

对于各向异性 BRDF，反射依赖于方位角 (azimuthal angle) \(\varphi\)。 $$ f_r(\theta_i,\phi_i;\theta_r,\phi_r)\neq f_r(\theta_i,\theta_r,\phi_r-\phi_i) $$

这个不等式的意思是这个不等式的意思是 BRDF 值不止和相对的方向角有关，还和绝对的方位角有关。

例子

拉丝金属 (brushed metal) 尼龙 (nylon) 天鹅绒 (velvet)

可能读者有过这样的体验：在天鹅绒上 rua 一下，表面的光泽就会发生变化。

本视频由 Sora 2 生成。

Properties of BRDFs⚓︎

• 非负性 (non-negativity)

  \[ f_r(\omega_i \rightarrow \omega_r) \ge 0 \]

• 线性 (linearity)

  \[ L_r(\mathrm{p},\omega_r)=\int_{H^2}f_r(\mathrm{p},\omega_i\to\omega_r)L_i(\mathrm{p},\omega_i)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i \]
  

• 可逆原理 (reciprocity principle)

  \[ f_r(\omega_r \rightarrow \omega_i) = f_r(\omega_i \rightarrow \omega_r) \]
  

• 能量保存 (energy conservation)

  \[ \forall\omega_r\int_{H^2}f_r(\omega_i\to\omega_r)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i\leq1 \]

• 各向同性 vs. 各向异性

  • 如果是各向同性，\(f_r(\theta_i,\phi_i;\theta_r,\phi_r)= f_r(\theta_i,\theta_r,\phi_r-\phi_i)\)

    • 4D -> 3D，简化计算

  • 此时根据可逆性

    \[ f_r(\theta_i,\theta_r,\phi_r-\phi_i)=f_r(\theta_r,\theta_i,\phi_i-\phi_r)=f_r(\theta_i,\theta_r,|\phi_r-\phi_i|) \]
  

Measuring BRDFs⚓︎

下面列举一些测量 BRDF 的方法：

• 基于图像的测量方法

  

• 测角反射计 (gonioreflectometer)

  • 球形龙门架 (Spherical gantry)（@UCSD）
  

• 通用方法：

  foreach outgoing direction wo
      move light to illuminate surface with a thin beam from wo
      for each incoming direction wi
          move sensor to be at direction wi from surface
          measure incident radiance
  

一些改进效率的措施：

• 通过各向同性表面，将方向性从 4D 降至 3D
• 利用可逆性可将需要测量的东西减半
• 设计更精巧的光学系统
• ...

要表示出测量好的 BRDF，理想的表示应该满足：

• 紧凑的表示
• 对测量数据的精确表示
• 对任意对的方向进行高效求值
• 适用于重要性采样的优良分布

这里介绍其中一种表示法——表格表示 (tabular representation)

• 在 \((\theta_i, \theta_o, |\varphi_i - \varphi_o|)\) 上存储等间距 (regularly-spaced) 的样本
  • 更好的做法：重新参数化角度，以更好地匹配高光效果
• 通常需要将测量值重新采样至表格中
• 很高的存储需求

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