Ray Tracing⚓︎

为什么要学习光线追踪(ray tracing)？因为：

• 光栅化不能处理全局上的效果，包括

  • 软阴影
  • 尤其是光线反复弹射（>1）的场景
  

• 光栅化很快，但是质量相对较低

  

• 光线追踪很准确，但是很慢

  • 我们认为光栅化是实时的(real-time)，而光线追踪是离线的(offline)
  • 生产中过程中，10000 个 CPU 核心小时才能渲染一帧画面
  

Whitted-Style Ray Tracing⚓︎

Basic Ray-Tracing Algorithm⚓︎

在光线追踪算法中，我们对光线有以下假定：

• 光沿直线传播（尽管这是错的，以为光有波动性）
• 多条光线相交时不会发生“碰撞”（尽管这也是错的）

• 光线从光源到达人眼

  • 光线从光源到人眼，那么从人眼出发也能看到光线，这就是光路的可逆性(reciprocity)

  “And if you gaze long into an abyss, the abyss also gazes into you.” — Friedrich Wilhelm Nietzsche（尼采）

人们对光线追踪的研究可以追溯至几千年前。一开始，不少人认为因为人眼向外界散播一种“感受光线”的东西，我们才能看到身边的世界。现在看来这种理论是十分荒谬的。

而在图形学的光线追踪算法中，首先要了解光线投射(ray casting) 的原理：

1. 通过为每个像素点投射一束光线来生成一幅图像
2. 通过将光线发射到光源来检查阴影的存在

这里的“光线”来自人眼，并且之后我们就把人眼看作是一个针孔相机 (pinhole camera)。下面展示了从人眼出发的光线照到球面，并从球面出发又经过了很多物体的情景。

虽然这一束光线和场景中多个物体相交，但我们只考虑离人眼最近的那个交点。对于该交点，执行着色计算，得出该光线对应像素的颜色值。

这种基于光线投射的光线追踪算法叫做递归光线追踪(recursive ray casting)，或 Whitted 风格光线追踪，是一种“改进的阴影显示照明模型”。下图就是采用该算法得到的结果：

在不同硬件上的耗时对比：

• VAX 11/780 (1979)：74m
• PC (2006)：6s
• GPU (2012)：1/30s

还是利用前面介绍的例子，现在我们仅考虑照到最近交点的那一段光线。由这条光线，产生其他类型的光线：

• 反射光线(reflected ray)（镜面反射 (specular reflection)）

  

• 折射光线(refracted ray)（镜面透射 (specular transmission)）

  

• 阴影光线(shadow ray)

  

我们称入射光线为主光线(primary ray)，而反射光和折射光线被称为次级光线(secondary ray)。

Ray-Surface Intersection⚓︎

光线可被简单表示为一个原点 + 方向向量（单位向量，长度为 1）。因此光线方程为 $$ \mathbf{r}(t) = \mathbf{o} + t\mathbf{d} \quad 0 \le t < \infty $$

• \(\mathbf{r}(t)\)：沿着光线上的点
• \(t\)：时间
• \(\mathbf{o}\)：原点
• \(\mathbf{d}\)：（归一化后的）方向向量

Spheres⚓︎

先来看如何求光线在球面上的交点：已知

• 光线：\(\mathbf{r}(t) = \mathbf{o} + t\mathbf{d} \quad 0 \le t < \infty\)
• 球体：\(\mathbf{p}:\ (\mathbf{p} - \mathbf{c})^2 - R^2 = 0\)

那么交点必然同时满足上述两个方程，所以只要将光线方程代入到球体方程即能求解。 $$ (\mathbf{o} + t\mathbf{d} - \mathbf{c})^2 - R^2 = 0 $$

因为这是一个二次方程，所以可以写成 \(at^2 + bt + c = 0\) 的形式，其中

• \(a = \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\)
• \(b = 2(\mathbf{o} - \mathbf{c}) \cdot \mathbf{d}\)
• \(c = (\mathbf{o} - \mathbf{c}) \cdot \mathbf{o} - \mathbf{c} - R^2\)

求根公式 \(t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，将 \(a, b, c\) 代入就能得到最终结果。

注

圆和直线的关系包括相离、相切和相交。

Implicit Surfaces⚓︎

更一般地，考虑光线和用隐式法表示的曲面的相交。假设曲面方程为 \(\mathbf{p}:\ f(\mathbf{p}) = 0\)，将光线方程代入后求解，其中的正实根就是最终解。

Planes⚓︎

而对于用显式法表示的曲面，三角形是其中最基础，也是最重要的一个。之所以要研究光线和三角形网格的相交关系，是因为

• 从渲染角度看，可见性、阴影和光照等都会涉及到
• 从几何角度看，检测点在几何体的内外
  • 检验方法：从该点出发打出一条射线，如果射线经过奇数个点，说明该点在几何体内部，否则在外面

最简单的思路是让光线穿过每一个能够穿过的三角形面。简单起见，我们认为一条光线和一个三角形的相交次数为 0 或 1（忽略多次相交的可能）。当然这种想法过于简单，实际运行起来会相当慢，稍后会考虑如何加速计算。

由于三角形是一个平面，因此可以将问题转化为求光线和平面(planes) 的相交，并检验交点是否落在三角形内部。平面由它的法向量以及一个平面上的点来定义，对应的方程为： $$ \mathbf{p}: (\mathbf{p} - \mathbf{p}`) \cdot \mathbf{N} = 0 $$

• \(\mathbf{p}\)：平面上的所有点
• \(\mathbf{p}`\)：平面上一点
• \(\mathbf{N}\)：法向量

注：平面方程的一般式：\(ax + by + cz + d = 0\)

同样可以将光线方程代入（令 \(\mathbf{p} = \mathbf{r}(t)\)），解得 \(t = \dfrac{(\mathbf{p}` - \mathbf{o}) \cdot \mathbf{N}}{\mathbf{d} \cdot \mathbf{N}}\)。当 \(0 \le t < \infty\) 时解才有效。

这样计算可能还是太麻烦了，一种更快的做法叫做 Möller Trumbore 算法。它利用重心坐标计算，方程和解如下所示：

其中 \((1 - b_1 - b_2), b_1, b_2\) 都是重心坐标。

Accelerating Ray-Surface Intersection⚓︎

光线追踪技术对计算机性能提出了不小的挑战。就以前面介绍的简单的光线 - 场景相交算法为例，我们需要测试每一个三角形和每一条光线的相交情况，并找出其中最近的交点（即 \(t\) 最小时对应的点）。所以运行时间 = 像素个数（光线条数） x 三角形个数（x 弹射次数），耗时很长。

例子

例 1 例 2

圣米格尔：该场景包含 10.7M 个三角形

植物生态系统：该场景包含 20M 个三角形（植物的叶子很多且复杂）

Bounding Volumes⚓︎

为避免计算光线与复杂物体上的相交关系，我们可以用一个结构简单的包围体(bounding volume) 覆盖复杂物体的周围。注意包围体内的物体一定要尽可能填满整个空间。如果光线没有经过包围体，也就意味着没有经过包围体内的物体，因此检测时可以先看光线是否经过包围体，再看是否经过包围盒内的物体。

现在我们用一个盒子作为包围体，这个盒子与三对面 (slabs)（也就是长方体的六个面）相交（右图展示了其中一对面）。因而称这样的包围体为轴对齐包围盒(axis-aligned bounding box, AABB)，即包围盒的任意边是沿着 x, y 或 z 轴方向的。

为方便讨论，下面以二维平面上的 AABB 为例讲解具体的计算过程，三维空间同理。核心思想是计算光线到达每一对面的最小时间和最大时间（\(t_{\min}, t_{\max}\)，可以是负数），并取中间的时间间隔（如下图红色线段所示），最后求个交集（右图）就是光线与包围盒相交的地方了。

上述计算是合理的原因是：

• 仅当光线进入所有对的面，光线才算进入到包围盒
• 只要光线离开其中一对面，光线就算离开了包围盒

对应的公式为：\(t_{\text{enter}} = \max \{t_{\min}\}, t_{\text{exit}} = \min \{t_{\max}\}\)。当 \(t_{\text{enter}} < t_{\text{exit}}\)，我们认为光线在包围盒内经过一会儿，所以它们必定会相交。然而光线不是直线，所以还需检查 \(t\) 是否为正，否则这样的解是无效的。

• \(t_{\text{exit}} < 0\)：说明盒子在光线的“后面”，因此无法相交
• \(t_{\text{exit}} \ge 0, t_{\text{enter}} < 0\)：光线的原点在盒子内，所以必定相交

所以当且仅当 \(t_{\text{enter}} < t_{\text{exit}} \&\& t_{\text{exit}} \ge 0\) 时，光线和 AABB 相交。

之所以要让包围盒轴对齐，是因为可以简化光线到平面上的计算。

下面就基于 AABB 介绍一些加速光线追踪的具体办法。

Uniform Grids⚓︎

统一空间划分(uniform spatial partition)（网格 (grid)）的步骤如下：

• 预处理：构建加速用的网格

  1. 得到包围盒

     

  2. 创建网格

     

  3. 存储和物体（表面）重叠的那些格子

     

• 光线和场景的相交

  • 标出光线经过的格子
  • 对于这些格子，看它们是否在先前的预处理中已经存储过了，若是则说明光线和对应物体相交
  

网格的分辨率要适中，不要：

• 划分太少，没有加速效果（极端情况：不划分，将包围盒看成一个格子）

  

• 划分太多：由于额外的网格遍历导致低效

  

人们想到用启发式的方法寻找合适的分辨率，结论如下：

• 格子数 = C * 物体数
• C ≈ 27（在 3D 空间中，经验之谈，不用管是怎么来的）

统一网格的成与败：

• 何时适用：有大片的物体，在大小和空间分布上是均匀的

  

• 何时无用：“茶壶在体育馆内”的问题，即物体在场景中的分布不均匀，某些地方集中出现很多物体，另一些地方却是大规模的空白（比如下图左上方的拱廊）

  

Spatial Partitions⚓︎

鉴于同一网格的局限，下面引入更多更灵活的空间划分方法：

• 八叉树(oct-tree)

  • 将一个立方体横、竖、侧各切一刀，形成八个块，故名“八叉”（图中只展示二维的一个面，因而是“四叉”）
  • 对于每个小块，也要切这样的三刀，直到每个小块内没有物体或物体数量足够少时停止
  • 缺点：维度越高，切的越多，越复杂
  

• KD 树(KD-tree)

  • 相比八叉树的划分更加自由
  • 但要遵循“水平 - 竖直 - 水平 ...”的顺序交替方向切割，确保划分均匀
  • 因此会得到一棵二叉树
  

• BSP 树(BSP-tree)

  • 更加自由，可以沿任意方向划分
  • 但缺点是和前面介绍的 AABB 适配性不高，且维度越高越复杂
  

综上，接下来就主要介绍 KD 树的处理过程：

• 预处理：

  

• 数据结构：

  • 内部节点
    • 分割轴：x/y/z 轴
    • 分割位置：沿着轴的分割平面的坐标
    • 孩子：指向孩子节点的指针
    • 注意：物体不是存储在内部节点的
  • 叶节点：一张关于物体的列表

• KD 树的遍历

  • 假如包围盒内有这样一些物体

    

  • 若光线和内部节点对应的区域相交，就要继续分割这块区域，对应内部节点产生两个孩子

    

  • 若光线和叶节点对应的区域相交，则认为这条光线和区域内的所有物体相交

    

Object Partition and Bounding Volume Hierarchy (BVH)⚓︎

现在我们转变一下思路，不再根据空间划分，而是根据物体划分。

• 最开始的包围盒是树的根节点

  

• 将包围盒内的物体分为两部分（对应树上的两个孩子节点），每个部分也是一个包围盒，但每个三角形仅属于一个包围盒

  

• 继续划分下去，对应的树很好地体现了包围体的层级(bounding volume hierarchy) 结构

  

系统总结一下构建 BVH 的过程：

• 找到一个包围盒
• 递归地将包围盒内的物体集合分为两个（不相交的）子集
• 重新计算子集的包围盒
• 重复上述步骤，直到满足条件时（比如包围盒内的物体数量达到一定要求时）停止
• 将物体存储到每个叶节点内

那么如何细分一个节点，即如何“将包围盒内的物体集合分为两个（不相交的）子集”呢？有以下可行的方法：

• 选择一个要分割的维度
• 启发式方法 1：总是沿节点对应区域中最长的轴分割
• 启发式方法 2：按中数(median) 物体所处位置（假如有 n 个物体，沿某个方向数量第 n/2 个物体）分割
  • 这样划分后两边的三角形数量就差不多了，让对应的树更加平衡
  • 扩展：从 n 个无序的数找出第 i 大的数，可以在 O(n) 时间内完成——快速选择算法

结束标准 (termination criteria)：

• 启发式：当节点包含足够少的元素时停止（比如 5 个）

BVH 的数据结构：

• 内部节点：
  • 包围盒
  • 孩子：指向孩子节点的指针
• 叶节点：
  • 包围盒
  • 一张关于物体的列表
• 节点表示的是场景中基本元素 (primitives)（？）的子集
  • 所有的物体都在子树中

光线遍历 BVH 的算法如下：

Intersect(Ray ray, BVH node) {
    if (ray misses node.bbox) return;

    if (node is a leaf node)
        test intersection with all objs;
        return closest intersection;

    hit1 = Intersect(ray, node.child1);
    hit2 = Intersect(ray, node.child2);

    return the closer of hit1, hit2;
}

Basic Radiometry⚓︎

关于辐射度量学：

• 一种光照的测量系统和单位
• 能够准确测量光的空间性质（不考虑时间维度）
  • 相关术语：辐射通量(radiant flux)、辐射强度(radiant intensity)、辐照度(irradiance)、辐射率(radience)
• 以物理上正确的方式执行光照计算

Radiant Energy and Flux (Power)⚓︎

一些重要的光测量关注点：

• 从光源辐射的光 -> 辐射强度
• 光落在表面上 -> 辐照度
• 光沿着直线传播 -> 辐射率

Radiant Intensity⚓︎

现在来解释一下立体角的概念。比对一般的角和立体角：

• 角：圆上弧长与半径之比
  • \(\theta = \dfrac{l}{r}\)
  • 圆的弧度(radian) 为 \(2 \pi\)
• 立体角：球上截面积与半径平方之比
  • \(\Omega = \dfrac{A}{r^2}\)
  • 球的立体弧度(steradian) 为 \(4 \pi\)

微分立体角（其中 \(\theta\) 是和向上方向的夹角，而 \(\varphi\) 是绕向上方向旋转的角度，微分立体角就是将这两个角施以很小的变化后形成的立体角）：

可以看到，微分立体角的变化不仅依赖于 \(d \theta, d \varphi\)，还受 \(\theta\) 角的影响，所以即便变化的角度数值一样，\(\theta\) 朝赤道变化和朝极点变化带来的影响是不同的。

已知球的表面积为 \(S\)，那么整个球的立体角为：

以后就用 \(\omega\) 表示方向向量(direction vector)（单位长度）。

因此对于各同向性光源，辐射通量和辐射强度分别为：

Irradiance⚓︎

辐照度和在“着色”一讲介绍的朗伯余弦定律有着密切联系：曲面上的辐照度正比于光的方向和曲面发现的夹角的余弦值，即 $$ E = \dfrac{\Phi}{A} \cos \theta $$

注：仅考虑单位面积。

地球一年四季的变化正是因为地球的转轴是倾斜的（23.5° 左右），因此地球围绕太阳公转时位于不同位置，太阳光和地球表面发现的夹角也会发生变化，辐照度也得以改变。

另外，辐照度会随离光源距离的增加而衰减 (falloff)。具体来说，假设光源的以均匀角度分布发射功率为 \(\Phi\) 的光，比较两个以光源为球心的球面上两处辐照度：

• 半径为 1 时，\(E = \dfrac{\Phi}{4\pi}\)
• 半径为 \(r\) 时，\(E` = \dfrac{\Phi}{4\pi r^2} = \dfrac{E}{r^2}\)

Radiance⚓︎

辐射率是描述环境中光分布的基本场量。

• 辐射度是与光线相关的量
• 渲染就是在计算辐射度

回忆一下：

• 辐照度：每单位投影面积的功率
• 辐射强度：每立体角的功率

所以辐射率既可以看成每立体角的辐照度，又可以当做每单位投影面积的辐射强度。

• 入射辐射率(incident radiance)：每单位立体角下到达表面的辐照度（即沿着给定光线（表面上的点和入射方向）到达表面的光） $$ L(\text{p}, \omega) = \dfrac{d E(\text{p})}{d \omega \cos \theta} $$

• 出射辐射率(exiting radiance)：每单位投影面积下离开表面的辐射强度 $$ L(\text{p}, \omega) = \dfrac{d I(\text{p}, \omega)}{d A \cos \theta} $$

  • 比如对于面光源，它就是沿给定光线发出的光

Light Transport⚓︎

The Reflection Equation⚓︎

关于在点上的反射

• 来自方向 \(\omega_i\) 的辐射转化为面积 \(dA\) 收到的辐射功率 \(E\)
• 然后功率 \(E\) 将成为任何其他方向 \(\omega_o\) 的辐射

• 微分辐照度入射：\(dE(\omega_i) = L(\omega_i) \cos \theta_i d \omega_i\)
• 微分辐射率出射（来自 \(dE(\omega_i)\)）：\(L_r(\omega_r)\)

双向反射分布函数(bidirectional reflectance distribution function, BRDF) 表示的是有多少光从各个入射方向被反射到出射方向 \(\omega_r\)，式子为： $$ f_r(\omega_i \rightarrow \omega_r) = \dfrac{d L_r(\omega_r)}{d E_i(\omega_i)} = \dfrac{d L_r(\omega_r)}{L(\omega_i) \cos \theta_i d \omega_i} $$

单位：\(\dfrac{1}{\text{sr}}\)

有了 BRDF 后，我们就能得出以下反射方程(reflection equation)： $$ L_r(p, \omega_r) = \int_{H^2} f_r(p, \omega_i \rightarrow \omega_r) L_i(\text{p}, \omega_i) \cos \theta_i d \omega_i $$ 这个方程的大致意思是计算半球上所有入射光线对某一方向 \(\omega_r\) 的出射光的总贡献。

反射方程的一个挑战是存在递归现象：入射光也有可能是来自场景中其他点上的出射光，那么也需要用反射公式计算，这样计算量就很大了。

The Rendering Equation⚓︎

冷知识：提出 "Rendering Equation" 的论文标题就是 "Rendering Equation"。

在反射方程的基础上再加一项，代表反射点自己发出的光（考虑更一般的情况），这样就得到了渲染方程(rendering equation)：

注：假设光线朝向均向外。

至于具体怎么计算就放到后面再介绍，目前的重点放在理解渲染方程是如何推导出来的。

Understanding the Rendering Equation⚓︎

• 只有一个点光源

  

• 有多个点光源（累加即可）

  

• 引入面光源（可看成多个连续的点光源，因此求和 -> 积分）

  

• 如果入射光来自其他地方的反射光

  
  • 此时入射光的辐射率是未知的，因而无法求出反射光的辐射率

将上述方程简写为： $$ \textcolor{aqua}{l(u)} = e(u) + \int \textcolor{aqua}{I(v)} + \underbrace{K(u, v) \textcolor{yellow}{dv}}_{\text{Kernel of equation}} $$

其中 \(K(u, v) dv\) 是方程的核(kernel)，也叫做光传输算子(light transport operator)。

将其离散化为简单的矩阵形式（或者联立线性方程组）：\(\textcolor{aqua}{L} = E + K\textcolor{aqua}{L}\)，其中 \(L, E\) 是向量，\(K\) 是光传输矩阵。对这个式子进行一些变换（中间用到了泰勒展开）：

现在这个方程能够近似表示场景中所有光线路径的贡献了。下面列出了等号右边前几项各项的含义：

• 其中前两项是可以在光栅化中实现的
• 除第一项外的项都属于全局光照

例子

直接光照 1 次弹射后的全局光照（直接 + 间接）2 次弹射后的全局光照 4 次弹射后的全局光照 8 次弹射后的全局光照 16 次弹射后的全局光照

很明显看到场景变亮了很多。

场景进一步变亮。

上方的玻璃灯突然变亮了，这是因为光进入玻璃后需要多次弹射才能出来，前面就是光还没出来的情况，而现在光能够出来了。

• 可以看到，弹射很多次后，光照变化没那么明显。经过无数次弹射后，光照会最终收敛到某个值，不会无限增大。（这也符合现实世界，不然眼睛盯着某处看就会过曝（误））
• 而相机的过曝是因为光线进入传感器的时间过长，能量就会越积越多，最终导致过曝。

Probability Review⚓︎

看起来只需掌握最基本的概率论知识即可，所以懒得记了，就直接把课件内容拷贝下来了。

课件

slide 1slide 2slide 3slide 4slide 5

Morte Carlo Integration⚓︎

引入

我们求一个定积分时，往往会先计算它的不定积分，再把两个边界值带进去计算后相减，得到的值就是定积分的结果。但有时被积的函数过于复杂，我们可能很难直接求出它对应的不定积分。这就是蒙特卡洛积分法要解决的问题。

蒙特卡洛积分法(Morte Carlo integration) 将多轮随机采样得到的函数值的平均值作为该函数的积分结果。下面我们为函数 \(f(x)\) 定义一个蒙特卡洛估计器(estimator)：

• 定积分：\(\int_a^b f(x) dx\)
• 随机变量：\(X \sim p(x)\)
• 蒙特卡洛估计器：\(F_N = \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N \dfrac{f(X_i)}{p(X_i)}\)

Path Tracing⚓︎

动机

Whitted 风格的光线追踪的特点是

• 总是执行镜面反射 / 折射
• 而在漫反射表面不会弹射光线

这样的简化其实不太合理。来看下面一些有问题的例子：

例子

例 1：犹他茶壶 (Utah Teapot) 例 2：康奈尔盒子 (Cornell Box)

像金属这样有光泽的材质，光打在上面不应该完全是镜面反射 (mirror reflection) 的（左图），而应该是像右图那样有光泽的反射 (glossy reflection)。仅凭前面学过的 Whitted 风格的光线追踪只能做到左图所示的效果。

Whitted 风格的光线追踪只能处理直接光照，得到的效果如左图所示。不难发现这张图的渲染存在一个问题：这些漫反射材质的表面没有反射，比如两边红色和绿色的墙的反射光本应打在邻近的两个长方体表面，这些表面就会呈现墙面的颜色（右图），可结果是一片黑暗。

Whitted 风格的光线追踪是错误的；但之后提到的渲染方程符合物理规律（辐射度量学），虽然是正确的，但计算太过复杂，因为

• 要在一个半球上求积分
• 存在递归部分

A Simple Monte Carlo Solution⚓︎

对于第一个问题，这也正是前面先引入蒙特卡洛积分法的原因。现在假设我们想在以下场景中，在仅靠直接光照的情况下渲染一个像素点：

注：这里假设所有方向是朝外的。

回顾一下反射方程（计算 \(p\) 点到相机的辐射率）： $$ L_o(p,\omega_o)=\int_{\Omega^+}L_i(p,\omega_i)f_r(p,\omega_i,\omega_o)(n\cdot\omega_i)\mathrm{d}\omega_i $$

尽管看上去很复杂，但它本质上就是一个沿各个方向上的积分。所以我们当然可以用蒙特卡洛积分法来做啊！

• 蒙特卡洛积分法 \(\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\approx\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{f(X_k)}{p(X_k)}\quad X_k\sim p(x)\)，其中：
• \(f(x) = L_i(p,\omega_i)f_r(p,\omega_i,\omega_o)(n\cdot\omega_i)\)
• 概率密度函数 (pdf) \(p(\omega_i) = \dfrac{1}{2 \pi}\)（即（单位）半球面积的倒数，这里假设在半球面上均匀采样）

综上可以得到：

注：这里的 \(i\) 既有表示入射光 (input) 的意思，也有表示采样索引 (index) 的意思，有些混淆，但应该还是好辨认的 hh

上述方程是一种用于直接光照的正确的着色算法。下面以伪代码形式呈现：

shade(p, wo)
    Randomly choose N directions wi~pdf
    Lo = 0.0
    for each wi
        Trace a ray r(p, wi)
        if ray r hit the light
            Lo += (1 / N) * L_i * f_r * cosine / pdf(wi)
    return Lo

Introducing Global Illumination⚓︎

前面的计算只考虑了直接光照，还没有考虑来自其他物体反射光带来的间接光照。

把间接光照部分加到前面的伪代码上，得到：

shade(p, wo)
    Randomly choose N directions wi~pdf
    Lo = 0.0
    for each wi
        Trace a ray r(p, wi)
        if ray r hit the light
            Lo += (1 / N) * L_i * f_r * cosine / pdf(wi)
        else if ray r hit an object at q
            Lo += (1 / N) * shade(q, -wi) * f_r * cosine  // recursive
        / pdf(wi)
    return Lo

这就完了吗？No No No，还有不少问题呢！

问题

问题 1：光线弹射次数引发的“指数爆炸”问题 2：递归函数永不停歇

假如一条光线接触到物体表面能反射出 100 条光线，那么只要弹射 3 次，这条光线就有一百万条分支，很快就能耗尽所有的计算资源。

不难发现，只有当 N = 1 时，才不会出现指数爆炸的问题，也就是一条光线只能反射出一条光线。因此从现在开始，我们假设每个着色点上只追踪一条光线：

shade(p, wo)
    Randomly choose ONE directions wi~pdf
    Lo = 0.0
    for each wi
        Trace a ray r(p, wi)
        if ray r hit the light
            Lo += (1 / N) * L_i * f_r * cosine / pdf(wi)
        else if ray r hit an object at q
            Lo += (1 / N) * shade(q, -wi) * f_r * cosine / pdf(wi)    // recursive
    return Lo

上述算法就叫做路径追踪(path tracing)。

注：N != 1 时该算法就是分布光线追踪 (distributed ray tracing)。

但这种简化会带来的另外一个问题是带来了噪点 (noise)。不过不用担心，解决方案就是为每个像素点追踪更多的光线，最后将它们的辐射率求个平均值就行了（光线生成 (ray generation)）。

光线生成算法如下（和介绍光线追踪时提到的光线投射技术很像）：

ray_generation(camPos, pixel)
    Uniformly choose N sample positions within the pixel
    pixel_radiance = 0.0
    for each sample in the pixel
        Shoot a ray r(camPos, cam_to_sample)
        if ray r hit the scene at p
            pixel_radiance += 1 / N * shade(p, sample_to_cam)
    return pixel_radiance

是的，上面的伪代码没有考虑到递归的终止条件。但我们会陷入一个困境：现实世界中光线的弹射次数确实是无穷无尽的；也许可以预先设置最大的光线弹射次数，但这会损失掉一部分光线能量。

解决方案：俄罗斯轮盘赌 (Russian Roulette, RR)：有 \(0 < p < 1\) 的概率幸存，否则（\(1 - p\)）就寄了。

先前，我们总是向一个着色点射出一条光线，并得到着色结果 \(L_o\)。现在我们认为设置一个概率 \(P\ (0 < P < 1)\)

• 有 \(P\) 的概率发出一条光线，并且着色结果要除以 \(P\)（即 \(\textcolor{red}{L_o / P}\)）
• 剩下 \(1 - P\) 的概率不发射光线，着色结果自然为 \(\textcolor{red}{0}\)

巧妙的是，\(L_o\) 的期望值仍然是 \(L_o\)，因为：\(E = P \cdot (\textcolor{red}{L_o / P}) + (1 - P) \cdot \textcolor{red}{0} = L_o\)

此时伪代码如下：

shade(p, wo)
    Manually specify a probability P_RR
    Randomly select ksi in a uniform dist. in [0, 1]
    if (ksi > P_RR) return 0.0;

    Randomly choose ONE direction wi~pdf(w)
    Trace a ray r(p, wi)
    if ray r hit the light
        return L_i * f_r * cosine / pdf(wi) / P_RR
    else if ray r hit an object at q
        return shade(q, -wi) * f_r * cosine / pdf(wi) / P_RR

Sampling the Light⚓︎

现在我们有了正确的路径追踪算法，但是还不够高效。足够大的 SPP(sample per pixel) 确实能得到不错的结果，但是算起来太慢了（右图）；可如果降低 SSP，就会看到图像上有明显的噪点，这也是我们无法容忍的（左图）。

之所以低效，是因为我们只考虑一条光线打在光源上，如果在着色点上以半球形式进行均匀采样，那么其他很多光线就会“作废”。尤其是当光源很小时，要用很多光线才有机会达到光源，浪费的光线就更多了。

这时就又要轮到蒙特卡洛积分法登场了！因为它能作用在任何的采样方法上，所以我们就用它直接对光源采样，这样就不会出现浪费的问题了。

• 假设在光源上均匀采样：\(pdf = \dfrac{1}{A}\)（因为 \(\int pdf \textcolor{red}{dA} = 1\)）
• 但渲染方程是在立体角上做积分的：\(L_o = \int L_i f_r \cos \textcolor{red}{d \omega}\)

回忆一下：蒙特卡洛积分法要求采样和积分的对象是同一个，所以既然要在光源上采样，就也要在光源上做积分，因此需要将渲染方程转化为对 \(dA\) 的积分，也就是要找出 \(d \omega\) 和 \(dA\) 之间的关系。

这件事是容易的，因为根据立体角的另一种定义（单位球体的投影面积），可得到： $$ d\omega=\frac{dA\cos\theta^{\prime}}{|x $$}-x|^2

现在重写渲染方程为：

重写后的方程就是对光源做积分了。对于蒙特卡洛积分法，\(f(x)\) 是上述积分方程内所有的东西，pdf 就是 \(1 / A\)。

除了光源（直接光照，无需 RR）外，从其他物体发出的反射光（间接光照，需要 RR）也要考虑在内。

综上得到如下伪代码：

shade(p, wo)
    // Contribution from the light source.
    Uniformly sample the light at x` (pdf_light = 1 / A)
    L_dir = L_i * f_r * cos θ * cos θ` / |x` - p|^2 / pdf_light

    // Contribution from other reflectors.
    L_indir = 0.0
    Test Russian Roulette with probability P_RR
    Uniformly sample the hemisphere toward wi (pdf_hemi = 1 / 2pi)
    Trace a ray r(p, wi)
    if ray r hit a non-emitting object at q
        L_indir = shade(q, -wi) * f_r * cos θ / pdf_hemi / P_RR
    return L_dir + L_indir

最后需要考虑的一件事是在光源上采样的光线有没有被阻挡。只要在伪代码中加上高亮标出的语句检测即可：

// Contribution from the light source.
L_dir = 0.0
Uniformly sample the light at x’ (pdf_light = 1 / A)
Shoot a ray from p to x’
if the ray is not blocked in the middle
    L_dir = ...

路径追踪是一个百分百正确的算法，其渲染的效果和照片几乎一模一样。

Asides⚓︎

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