Ray Tracing⚓︎
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为什么要学习光线追踪(ray tracing)？因为：
-
光栅化不能处理全局上的效果，包括
- 软阴影
- 尤其是光线反复弹射（>1）的场景
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光栅化很快，但是质量相对较低
-
光线追踪很准确，但是很慢
- 我们认为光栅化是实时的(real-time)，而光线追踪是离线的(offline)
- 生产中过程中，10000 个 CPU 核心小时才能渲染一帧画面
Whitted-Style Ray Tracing⚓︎
Basic Ray-Tracing Algorithm⚓︎
在光线追踪算法中，我们对光线有以下假定：
- 光沿直线传播（尽管这是错的，以为光有波动性）
- 多条光线相交时不会发生“碰撞”（尽管这也是错的）
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光线从光源到达人眼
- 光线从光源到人眼，那么从人眼出发也能看到光线，这就是光路的可逆性(reciprocity)
“And if you gaze long into an abyss, the abyss also gazes into you.” — Friedrich Wilhelm Nietzsche（尼采）
人们对光线追踪的研究可以追溯至几千年前。一开始，不少人认为因为人眼向外界散播一种“感受光线”的东西，我们才能看到身边的世界。现在看来这种理论是十分荒谬的。
而在图形学的光线追踪算法中，首先要了解光线投射(ray casting) 的原理：
- 通过为每个像素点投射一束光线来生成一幅图像
- 通过将光线发射到光源来检查阴影的存在
这里的“光线”来自人眼，并且之后我们就把人眼看作是一个针孔相机 (pinhole camera)。下面展示了从人眼出发的光线照到球面，并从球面出发又经过了很多物体的情景。
虽然这一束光线和场景中多个物体相交，但我们只考虑离人眼最近的那个交点。对于该交点，执行着色计算，得出该光线对应像素的颜色值。
这种基于光线投射的光线追踪算法叫做递归光线追踪(recursive ray casting)，或 Whitted 风格光线追踪，是一种“改进的阴影显示照明模型”。下图就是采用该算法得到的结果：
在不同硬件上的耗时对比：
- VAX 11/780 (1979)：74m
- PC (2006)：6s
- GPU (2012)：1/30s
还是利用前面介绍的例子，现在我们仅考虑照到最近交点的那一段光线。由这条光线，产生其他类型的光线：
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反射光线(reflected ray)（镜面反射 (specular reflection)）
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折射光线(refracted ray)（镜面透射 (specular transmission)）
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阴影光线(shadow ray)
我们称入射光线为主光线(primary ray)，而反射光和折射光线被称为次级光线(secondary ray)。
Ray-Surface Intersection⚓︎
光线可被简单表示为一个原点 + 方向向量（单位向量，长度为 1
- \(\mathbf{r}(t)\)：沿着光线上的点
- \(t\)：时间
- \(\mathbf{o}\)：原点
- \(\mathbf{d}\)
： （归一化后的）方向向量
Spheres⚓︎
先来看如何求光线在球面上的交点：已知
- 光线：\(\mathbf{r}(t) = \mathbf{o} + t\mathbf{d} \quad 0 \le t < \infty\)
- 球体：\(\mathbf{p}:\ (\mathbf{p} - \mathbf{c})^2 - R^2 = 0\)
那么交点必然同时满足上述两个方程，所以只要将光线方程代入到球体方程即能求解。 $$ (\mathbf{o} + t\mathbf{d} - \mathbf{c})^2 - R^2 = 0 $$
因为这是一个二次方程，所以可以写成 \(at^2 + bt + c = 0\) 的形式，其中
- \(a = \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\)
- \(b = 2(\mathbf{o} - \mathbf{c}) \cdot \mathbf{d}\)
- \(c = (\mathbf{o} - \mathbf{c}) \cdot \mathbf{o} - \mathbf{c} - R^2\)
求根公式 \(t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，将 \(a, b, c\) 代入就能得到最终结果。
注
圆和直线的关系包括相离、相切和相交。
Implicit Surfaces⚓︎
更一般地，考虑光线和用隐式法表示的曲面的相交。假设曲面方程为 \(\mathbf{p}:\ f(\mathbf{p}) = 0\)，将光线方程代入后求解，其中的正实根就是最终解。
Planes⚓︎
而对于用显式法表示的曲面，三角形是其中最基础，也是最重要的一个。之所以要研究光线和三角形网格的相交关系，是因为
- 从渲染角度看，可见性、阴影和光照等都会涉及到
- 从几何角度看，检测点在几何体的内外
- 检验方法：从该点出发打出一条射线，如果射线经过奇数个点，说明该点在几何体内部，否则在外面
最简单的思路是让光线穿过每一个能够穿过的三角形面。简单起见，我们认为一条光线和一个三角形的相交次数为 0 或 1（忽略多次相交的可能
由于三角形是一个平面，因此可以将问题转化为求光线和平面(planes) 的相交，并检验交点是否落在三角形内部。平面由它的法向量以及一个平面上的点来定义，对应的方程为： $$ \mathbf{p}: (\mathbf{p} - \mathbf{p}') \cdot \mathbf{N} = 0 $$
- \(\mathbf{p}\)：平面上的所有点
- \(\mathbf{p}'\)：平面上一点
- \(\mathbf{N}\)：法向量
注：平面方程的一般式：\(ax + by + cz + d = 0\)
同样可以将光线方程代入（令 \(\mathbf{p} = \mathbf{r}(t)\)
这样计算可能还是太麻烦了，一种更快的做法叫做 Möller Trumbore 算法。它利用重心坐标计算，方程和解如下所示：
其中 \((1 - b_1 - b_2), b_1, b_2\) 都是重心坐标。
Accelerating Ray-Surface Intersection⚓︎
光线追踪技术对计算机性能提出了不小的挑战。就以前面介绍的简单的光线 - 场景相交算法为例，我们需要测试每一个三角形和每一条光线的相交情况，并找出其中最近的交点（即 \(t\) 最小时对应的点
例子
圣米格尔：该场景包含 10.7M 个三角形
植物生态系统：该场景包含 20M 个三角形（植物的叶子很多且复杂）
注意
为求通用性，我们后续使用“对象”一词替代“三角形”（但未必指整个对象
Bounding Volumes⚓︎
为避免计算光线与复杂物体上的相交关系，我们可以用一个结构简单的包围体(bounding volume) 覆盖复杂物体的周围。注意包围体内的物体一定要尽可能填满整个空间。如果光线没有经过包围体，也就意味着没有经过包围体内的物体，因此检测时可以先看光线是否经过包围体，再看是否经过包围盒内的物体。
现在我们用一个盒子作为包围体，这个盒子与三对面 (slabs)（也就是长方体的六个面）相交（右图展示了其中一对面
为方便讨论，下面以二维平面上的 AABB 为例讲解具体的计算过程，三维空间同理。核心思想是计算光线到达每一对面的最小时间和最大时间（\(t_{\min}, t_{\max}\)，可以是负数
上述计算是合理的原因是：
- 仅当光线进入所有对的面，光线才算进入到包围盒
- 只要光线离开其中一对面，光线就算离开了包围盒
对应的公式为：\(t_{\text{enter}} = \max \{t_{\min}\}, t_{\text{exit}} = \min \{t_{\max}\}\)。当 \(t_{\text{enter}} < t_{\text{exit}}\)，我们认为光线在包围盒内经过一会儿，所以它们必定会相交。然而光线不是直线，所以还需检查 \(t\) 是否为正，否则这样的解是无效的。
- \(t_{\text{exit}} < 0\)：说明盒子在光线的“后面”，因此无法相交
- \(t_{\text{exit}} \ge 0, t_{\text{enter}} < 0\)：光线的原点在盒子内，所以必定相交
所以当且仅当 \(t_{\text{enter}} < t_{\text{exit}} \&\& t_{\text{exit}} \ge 0\) 时，光线和 AABB 相交。
之所以要让包围盒轴对齐，是因为可以简化光线到平面上的计算。
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