Chap 9: Graph Algorithm⚓︎

详细的图论知识见离散数学同名章节

Definitions⚓︎

• G(V, E)：\(G\) 表示图 (graph)，\(V = V(G)\) 表示关于顶点 (vertices)的有限非空集合，\(E = E(G)\) 表示关于边 (edges/arcs)的有限集合
• 无向图 (undirected graph)：\((v_i, v_j) = (v_j, v_i)\) 表示相同的边
• 有向图 (directed graph, digraph)：\(<v_i, v_j> \ne <v_j, v_i>\)

\(<v_i, v_j>\)

• 完全图 (complete graph)：图上任意两点间都有一条边

  • 无向图：\(V = n \quad E = C^2_n = \frac{n(n - 1)}{2}\)

    

  • 有向图：\(V = n \quad E = P^2_n = n(n - 1)\)

    

• 邻接 (adjacent)

  • 无向图：如果 \((v_i, v_j)\) 存在，则称 \(v_i, v_j\) 是邻接的

    

  • 有向图：如果 \(<v_i, v_j>\) 存在，则称 \(v_i\) to \(v_j\) 是邻接的，或者说 \(v_j\) from \(v_i\) 是邻接的

    

• 子图 (subgraph) \(G' \subset G\)，\(V(G') \subseteq V(G)\) 且 \(E(G') \subseteq E(G)\)

• 从 \(v_p\) 到 \(v_q\) 的路径 (path)(\(\subset G\))：\(\{v_p, v_{i1}, v_{i2}, \dots, v_{in}, v_q\}\)，满足 \((v_p, v_{i1}), (v_{i1}, v_{i2}), \dots, (v_{in}, v_q)\) 或者 \(<v_p, v_{i1}>, <v_{i1}, v_{i2}>, \dots, <v_{in}, v_q> \subset E(G)\)
• 路径的长度 (length)：路径上边的条数
• 简单路径 (simple path)：对于上述路径，\(v_{i1}, v_{i2}, \dots, v_{in}\) 是不同的 ( 不会多次经过同一顶点 )
• 环 (cycle)：对于一条简单路径，起点与终点相同，即 \(v_p = v_q\)

• 连通 (connected)

  • 无向图：

    • 对于两个顶点 \(v_i, v_j\) 而言，如果它们之间存在一条路径，则称它们是连通的
    • 对于整张无向图 \(G\) 而言，如果图内任意两点之间相互连通，则称整张图是连通的

      对于 \(n\) 个顶点的无向图，最少需要 \(n - 1\) 条边来实现整张图的连通

    • 无向图 \(G\) 的（连通）分量 (component)：极大连通子图（一张图中可能有多个连通分量）
    • 树是连通且无环 (acyclic) 的图

  • 有向图：

    • 有向无环图 (directed acyclic graph, DAG)
    • 强连通 (strongly connected)有向图 \(G\)：对于 \(V(G)\) 中的每对顶点 \(v_i, v_j\)，存在从 \(v_i\) 到 \(v_j\) 以及从 \(v_j\) 到 \(v_i\) 的有向路径

    • 弱连通 (weakly connected)有向图：在不考虑方向的情况下（即无向图），整张图是连通的（即对于 \(V(G)\) 中的每对顶点 \(v_i, v_j\)，存在从 \(v_i\) 到 \(v_j\)** 或 ** 从 \(v_j\) 到 \(v_i\) 的有向路径）

      对于 \(n\) 个顶点的弱连通有向图，最少需要 \(n - 1\) 条边来实现整张图的连通

    • 强连通分量 (strongly connected component)：极大强连通子图

    • 弱连通分量 (weakly connected component)：极大弱连通子图

• 度 (degree)：\(\mathrm{degree}(v)\)，与顶点 v 相连的边数

  对于一个有向图 \(G\) 而言，度分为入度 (in-degree)和出度 (out-degree)，例如：

  

  假如 \(G\) 有 \(v\) 个顶点和 \(e\) 条边，那么 \(e = \dfrac{\sum\limits_{i = 0}^{n - 1}d_i}{2}\)，其中 \(d_i = \text{degree}(v_i)\)（握手定理）

  对于有向图而言，所有顶点入度之和 = 所有顶点出度之和

Representation of Graph⚓︎

法一：邻接矩阵 (adjacency matrix)

对于一张具有 \(n(n \ge 1)\) 个节点的图 \(G(V, E)\)，定义邻接矩阵 \(adj\_mat [i] [j]\) 为

所以也就有：

不难看出，如果 \(G\) 是无向的，则该邻接矩阵是对称的，因此浪费了一半的空间和时间（复杂度：\(\Theta(|V|^2)\)），但是用在稠密 (dense) 图（\(|E| = \Theta(|V|^2)\)）中是比较合适的。

改进措施：通过将下三角矩阵存入一维数组中，节省了一半的空间

\(adj\_mat[n(n+1)/2] = \{a_{11}, a_{21}, \dots, a_{n1}, \dots, a_{nn}\}\)，其中 \(a_{ij}\) 的索引为 \(\dfrac{i(i-1)}{2} + j\)

法二：邻接表 (adjacency lists)

例子

如何存储这张图？

邻接矩阵邻接表

\[adj\_mat = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\]

注：节点的顺序并不重要

对于无向图 \(G\)，邻接表的空间 \(S = n\) 个头 + \(2e\) 个节点 = \((n + 2e)\) 个指针 + \(2e\) 个整型

时间复杂度 \(T = E(G) = O(|V| + |E|)\)，适用于稀疏 (sparse) 图(\(|E| < \Theta(|V|^2)\)) 中

注：事实上，邻接表可以胜任各种图的存储

法三：邻接多重表 (adjacency multilist)

注：这个不作要求，了解即可

在之前的邻接表里，对于每条边 \((v_i, v_j)\)，我们会有两个节点：

通过改进，将这两个节点结合到一起：

于是就有如下表示方法（mark 表示某一条边）：

最终效果：

观察发现，在没有考虑 mark 存储的情况下，这种表示法的占用空间与邻接表完全一样。虽然它的空间复杂度略微高了点，但是在某些情况下（比如检验某条边后还要检验下一条边）比较有利。

有时，我们会遇到带权边 (weighted edges)的情况，处理方式如下：

• 邻接矩阵：\(adj\_mat[i][j] = \text{weight}\)
• 邻接表 / 邻接多重表：为每个节点添加权重的字段

Topological Sort⚓︎

AOV 网 (activity on vertex network)：对于有向图 \(G\)，\(V(G)\) 表示活动，\(E(G)\) 表示位次关系

（C1 是 C3 的前置活动）

• 如果从 \(i\) 到 \(j\) 有一条路径，则称 \(i\) 是 \(j\) 的前任 (predecessor)
• 如果 \(<i, j> \in E(G)\)，则称 \(i\) 是 \(j\) 的直接前任 (immediate predecessor)。称 \(j\) 是 \(i\) 的 （直接）后任 ((immediate) successor)

可行的 AOV 网必须是一个有向无环图 (DAG)

补充阅读：AOE 网

偏序 (partial order)是一种具有以下性质的关系

• 反自反性 (irreflexive)（不存在 \(i \rightarrow i\)）
• 反对称性 (anti-symmetric)（\((i \rightarrow j) \wedge (j \rightarrow i) \Rightarrow i = j\)）
• 传递性（\(i \rightarrow j, j \rightarrow k \Rightarrow i \rightarrow k\)）

拓扑序 (topological order)是一张图的顶点的线性顺序，满足：对于任意两个顶点 \(i, j\)，如果 \(i\) 是 \(j\) 的前任，则在线性顺序中 \(i\) 要出现在 \(j\) 之前

注：

• 拓扑序不一定是唯一的
• 如果拓扑序中一个顶点出现在另一个顶点的前面，它们之间不一定存在路径
• 可以用拓扑序检验有向图是否存在环

// version 1
void Topsort(Graph G)
{
    int Counter;
    Vertex V, W;
    for (Counter = 0; Counter < NumVertex; Counter++)
    {
        V = FindNewVertexOfDegreeZero(); // O(|V|)
        if (V == NotAVertex)
        {
            Error("Graph has a cycle");
            break;
        }
        TopNum[V] = Counter; // or output V
        for (each W adjacent from V)
            indegreep[W]--;
    }
}

• FindNewVertexOfDegreeZero()：扫描 Indegree[] 数组，找到入度为 0 且未赋予拓扑序的顶点，如果没有找到顶点，那么表明图中出现了环
• 每处理完一个顶点 V 后，就需要让从 V 出发与 V 邻接的顶点的入度 -1，相当于在图上移除了顶点 V 以及它的所有出边
• 时间复杂度：\(T = O(|V|^2)\) 👎

改进方法：将所有未赋予拓扑序的、度为 0 的顶点放入特殊的盒子（比如队列或 *栈）里

动画演示

// version 2, using queue ADT
void Topsort(Graph G)
{
    Queue Q;
    int Counter = 0;
    Vertex V, W;

    Q = CreateQueue(NumVertex); 
    for (each vertex V)
        if (indegree[V] == 0) 
            Enqueue(V, Q);
    while (!isEmpty(Q))
    {
        V = Dequeue(Q);
        TopNum[V] = ++Counter;  // assign next
        for (each W adjacent from V)
            if (--indegree[W] == 0)
                Enqueue(W, Q);
    } // end-while
    if (Counter != NumVertex)
        Error("Graph has a cycle")
    DisposeQueue(Q); // free memery
}

时间复杂度：\(O(|E| + |V|)\)

例题

问题答案

Shortest Path Algorithms⚓︎

给定一张有向图 \(G(V, E)\)，以及成本函数 \(c(e)\)，\(e \in E(G)\)，从源 (source)到目的地 (destination)的路径 \(P\) 的长度 (length) 为 \(\sum\limits_{e_i \subset P}c(e_i)\)（也被称为带权路径长度 (weighted path length)）

Single-Source Shortest-Path Problem⚓︎

：

• 右图存在负的边，这样最短路的长度可以是无穷小。因此在这种情况下，最短路是未定义的，因为陷入了死循环。这种循环被称为负值环 (negative-cost cycle)
• 从 \(s\) 到 \(s\) 的最短路径被定义为 0
• 现在，还没有一种最短路算法的速度快于找到从 \(s\) 到所有顶点的路径的算法

Unweighted Shortest Paths⚓︎

在这种情况下，所有边的权重 = 1

如图所示，为了找到从 \(v_3\) 出发到其他顶点的所有最短路径：

• 先找到与 \(v_3\) 邻接的顶点，记从 \(v_3\) 到这些顶点的最短路径为 1
• 然后再从这些顶点出发，找到与它们邻接的顶点。如果新找到的顶点还没有相应的最短路径，那就记这些顶点的最短路径为 2
• 重复步骤 2，直至所有顶点的最短路径都已找到

这种方法被称为宽度优先搜索 (breadth-first search, BFS)：该方法一层层地处理顶点：最近的顶点最先处理，最远的顶点最后处理。这和树中的层序遍历类似

// version 1
void Unweighted(Table T)
{
    int CurrDist;
    Vertex V, W;
    for(CurrDist = 0; CurrDist < NumVertex; CurrDist++)
    {
        for (each vertex V)
            if (!T[V].Known && T[V].Dist == CurrDist)
            {
                T[V].Known = true;
                for (each W adjacent to V)
                    if (T[W].Dist == infinity)
                    {
                        T[W].Dist = CurrDist + 1;
                        T[W].Path = V;  // (*)
                    }// end-if Dist == Infinity
            } // end-if !Known &&Dist == CurrDist
    } // end-for CurrDist
}

这个算法显然没什么效率，因为外层循环要循环 NumVertex - 1 次才结束，即使所有的顶点早就处理过了。虽然可以增加一个额外的判断提前结束循环，但这并没有影响最坏情况的运行时间，比如：

起始点为 \(v_9\)，第一次循环要找 CurrDist == 0 的顶点（即 \(v_9\)）。我们一般会按照节点下标的递增顺序查找，则要找到 \(v_9\) 需要从头遍历到尾；而且不难看出，每次循环均会从头遍历到尾（越来越靠前）

时间复杂度 \(T = O(|V|^2)\)👎

可以发现，如果顶点 \(V\) 未被标记，但 \(d_v \ne \infty\)，那么 \(d_v = CurrDist\) 或 \(d_v = CurrDist + 1\)，因此没有必要像上面那个算法一样扫描整个表来找到合适的顶点。

事实上，我们只需要一个队列就能完成上述改进思路：

这里不用 Known 字段是因为 Dequeue 就代表顶点已经被处理过了，不会再回到队列里

// version 2
void Unweighted(Table T)
{
    // T is initialized with the source vertex S given
    Queue Q;
    Vertex V, W;
    Q = CreateQueue(NumVertex);
    MakeEmpty(Q);
    Enqueue(S, Q); // Enqueue the source vertex
    while (!IsEmpty(Q))
    {
        V = Dequeue(Q);
        T[V].Known = true;  // not really necessary
        for (each W adjacent to V)
            if (T[W].Dist == Infinity)
            {
                T[W].Dist = T[V].Dist + 1;
                T[W].Path = V;
                Enqueue(W, Q);
            } // end-if Dist == Infinity
    } // end-while
    DisposeQueue(Q); // free memory
}

可以看到，这和拓扑排序的算法很像

动画演示

Dijkstra's Algorithm(for weighted shortest paths)⚓︎

// Declarations for Dijkstra's algorithm
typedef int Vertex

struct TableEntry
{
    List Header; // Adjacency list
    int Known;
    DistType Dist;
    Vertex Path;
};

// Vertices are numbered from 0
#define NotAVerTex (-1)
typedef struct TableEntry Table[NumVertex];

// Initialization
void InitTable(Vertex Start, Graph G, Table T)
{
    int i;

    ReadGraph(G, T);
    for (i = 0; i < NumVertex; i++)
    {
        T[i].Known = False;
        T[i].Dist = Infinity;
        T[i].Path = NotAVerTex;
    }
    T[Start].dist = 0;
}

// Print shortest path to V after Dijkstra has run
// Assume that the path exists
void PrintPath(Vertex V, Table T)
{
    if(T[V].Path != NotAVertex)
    {
        PrintPath(T[V].Path, T);
        printf(" to");
    }
    printf("%v", V) // %v is pseudocode
}

void Dijkstra(Table T)
{
    Vertex V, W;
    for(;;)  // O(|V|)
    {
        V = smallest unknown distance vertex;
        if (V == NotAVertex)
            break;
        T[V].Known = true;
        for (each W adjacent to V)
            if (!T[W].Known)
                if(T[V].Dist + Cvw < T[W].Dist) // 这步操作被称为“松弛”
                {
                    Decrease(T[W].Dist to T[V].Dist + Cvw); 
                    T[W].Path = V;
                } // end-if update W
    } // end-for(;;)
} // now work for edge with negative cost

动画演示

Dijkstra 算法的运行时间取决于我们如何寻找距离最短且未被标记的顶点

void Dijkstra(VType s, Table T, int n)   // Finding all the shortest paths  
{
    VType V, W;           // V: the current vertex; W: the vertex adjacent to V
    Heap H;               // A heap maintaining the shortest unknown vertex
    Vertex cur, tmp;      // cur: obtaining the information of all adjacent vertice regarding V; tmp: containing new previous vertex adjacent to W
    int len, cnt = n;     // len: the distance of T[V].dist + the distance between V and W; cnt: used to terminate the loop

    H = InitHeap(n, s);   // Initialization of the heap

    while (cnt > 0)
    {
        V = DeleteMin(H); // Obtaining the shortest unknown vertex
        T[V].Known = 1;   // Marking it
        cnt--;
        cur = G[V];       // Getting all adjacent successors
        while (cur != NULL)  // Traversing all successors
        {
            W = cur->vertex;  // The current successor
            if (!T[W].Known)  // If W isn't marked, then try to update it
            {
                len = T[V].Dist + cur->length;   // New distance
                if (len < T[W].Dist)  // If the new distance is shorter than the previous one, then update it
                {
                    T[W].Dist = len;
                    if (pos[W] == 0)  // If W hasn't been in the heap, then insert it into the heap
                        Insert(W, len, H);
                    else  // If W is in the heap, then update the distance of W and update the whole heap
                        DecreaseKey(pos[W], len, H);

                    T[W].Path = NULL;    // Clearing out all previous vertice, because we find the new optimal one
                    tmp = (Vertex)malloc(sizeof(struct node));    // Insert the new one into the T[W].Path
                    tmp->vertex = V;
                    tmp->next = T[W].Path;
                    T[W].Path = tmp;
                }
                else if (len == T[W].Dist)  // If the new distance is equal to the old one, then just involve the new solution
                {        
                    tmp = (Vertex)malloc(sizeof(struct node));    // The same operations 
                    tmp->vertex = V;
                    tmp->next = T[W].Path;
                    T[W].Path = tmp;    
                }
            }
            cur = cur->next;     // Finding the next one
        }
    }
}

Graphs with Negative Edge Costs⚓︎

如果出现负的边成本，那么我们就不能在使用Known字段标记是否已经处理过某个顶点，因为有可能在第一次处理该顶点之后，又发现更小的路径长度（因为负的边），需要重复处理某个顶点

我们用“无权重最短路算法 + Dijkstra 算法”来解决这一问题：

void WeightedNegative(Table T)
{
    Queue Q;
    Vertex V, W;
    Q = CreateQueue(NumVertex);
    MakeEmpty(Q);
    Enqueue(S, Q); // Enqueue the source vertex
    while (!IsEmpty(Q)) // each vertex can dequeue at most |V| times
    {
        V = Dequeue(Q);
        for (each W adjacent to V)
            if (T[V].Dist + Cvw < T[W].Dist) // no longer once per edge
            {
                T[W].Dist = T[V].Dist + Cvw;
                T[W].Path = V;
                if (W is not already in Q)
                    Enqueue(W, Q);
            } // end-if update
    } // end-while
    DisposeQueue(Q); // free memory
} // negative-cost cycle will cause indefinite loop

• 时间复杂度：\(O(|E| \cdot |V|)\)
• 如果出现负值环，该算法将会陷入无限循环。因此，记录每个顶点的出队次数，发现有顶点出队次数多于 \(|V|\) 次时，就终止程序，这样可以避免这一问题

Acyclic Graphs⚓︎

如果图是无环 (acyclic)，我们可以按照拓扑序选择顶点，因为当选择某个顶点后，它的距离不可能因为它前面顶点的入边而减少，这样只需执行一趟算法即可。

时间复杂度 \(T = O(|E| + |V|)\)，不需要优先队列

应用：关键路径分析 (critical path analysis)

• AOV 网：每个顶点表示一个活动，且包括需要完成该活动的时间。边 (v, w) 表示 w 完成之前，v 必须完成

• AOE 网 (activity on edges networks)

  

  表示方法：

  

  注：必要时需要添加 dummy edges 和 dummy nodes，避免错误或缺少的依赖关系产生

• \(EC[j]\)：节点 \(v_j\) 最早的完成时间
• \(LC[j]\)：节点 \(v_j\) 最晚的完成时间

🌰

注：蓝字表示 EC，红字表示 LC，绿字表示空闲时间（后面会讲到）

• 计算 EC：找到第一个事件到最后一个事件之间最长的路

  注： 图如果是有环的，因为正成本环 (positive-cost cycles)的存在，这种算法无法实现。然而这里已经规定是无环图，所以无需担心

  从起点 \(v_0\) 开始，对于任意的 \(a_i = <v, w>\)，我们有

  \[ EC[0] = 0 \quad EC[w] = \max\limits_{(v,w) \in E} \{EC[v] + C_{v, w}\} \]

  按拓扑序计算

• 计算 LC：从终点 \(v_8\) 开始，对于任意的 \(a_i = <v, w>\)，我们有

  \[ LC[8] = EC[8] \quad LC[v] = \min\limits_{(v,w) \in E} \{LC[v] - C_{v, w}\} \]

  按逆向拓扑序计算

• \(<v, w>\) 的空闲时间 (slack time) = \(LC[w] - EC[v] - C_{v, w}\)

• 关键活动 (critical activity)：空闲时间为 0 的活动
• 关键路径 (critical path)：所有边的空闲时间均为 0 的路径

All-pairs Shortest Path Problem⚓︎

对图中任意一对顶点 \(v_i, v_j(i \ne j)\)，要求它们的最短路径，有以下方法：

• 使用 \(|V|\) 次单源算法（比如 Dijkstra），时间复杂度 \(T = O(|V|^3)\)，在稀疏图中运行较快
• 用 Chap 10 给出的算法，时间复杂度 \(T = O(|V|^3)\)，在稠密图中运行较快，这里就略过了我也不知道是什么算法 (doge)

Network Flow Problems⚓︎

考虑下面的管道网络：

• 这是一个有向图 \(G(V, E)\)，每条边的容量 (capacity)为 \(c_{v, w}\)，经过该边的流量 (flow)不得超过它的容量
• 我们称起点 s 为源点 (source)，终点 t 为汇点 (sink)
• 对于所有顶点 \(v \notin \{s, t\}\)，总流入 = 总流出，即 \(\text{Total coming in}(v) \equiv \text{Total going out}(v)\)，也就是说顶点不具备存储的能力

🎯：确定从 s 到 t 的最大流 (maximum-flow)

Simple Algorithm⚓︎

注：使用这个算法时，我们需要 3 张图：

• 原图 \(G\)
• 流量 (flow) 图 \(G_f\)：表示算法运行的每个阶段中已经得到的流量，初始情况下每条边的流量均为 0
• 残量 (residual) 图 \(G_r\)：表示对于图中的每条边，还剩下多少流量可以被添加

动画演示

问题

如果我们采用贪心的策略，对于上图，我们会先选择 \(s \rightarrow a \rightarrow d \rightarrow t\)，这样得到的流量为 3，如下图所示。然而，这样做的话我们就无法再找到第 2 条路径，因此总流量为 3，不满足要求。因此我们需要改进上述算法。

Solution⚓︎

令 \(f\) 表示图 \(G = (V, E)\) 的流量，则残差图的边的权重为：

动画演示

最终效果：

注：如果边的容量是有理数，那么该算法在终止时总能得到一个最大流（图有环的话也可以）

Analysis⚓︎

前提：所有边的容量为整数

我们可以利用无权最短路径算法来找到增广路径

时间复杂度 \(T = O(f \cdot |E|)\)，\(f\) 表示最大流量

但对于以下特殊情况：

如果我们随机挑选增广路径，挑到一条包括 \(a \rightarrow b\) 的路径，就会产生问题：

Random augmentations could continually augment along a path that includes the edge connected by a and b. If this were to occur repeatedly, 2,000,000 augmentations would be required, when we could get by with only 2.

Supplements⚓︎

• 更优的算法，时间复杂度可以将至 \(O(|E||V|\log(|V|^2/|E|))\) 和 \(O(|E||V| + |V|^{2 + \epsilon})\)
• 对于某些特殊情况，时间复杂度还可以降低：如果除了源点和汇点外的所有顶点的入边容量为 1，或者出边容量为 1，那么最优算法的时间复杂度为 \(O(|E||V|^{\frac{1}{2}})\)
• 更复杂的问题：最小费用流问题 (min-cost flow problem)——每条边不仅有容量，还要考虑单位流量的费用。🎯：要找到所有最大流量中的最小成本

Minimum Spanning Tree⚓︎

定义：图 \(G\) 的生成树 (spanning tree)是一棵包含所有顶点 \(V(G)\)（但不一定包含所有边）的树

🌰：

如何理解最小生成树 (minimum spanning tree)？

• “树”：无环且边的数量为 |V| - 1

  因此当图的边数 < |V| - 1 时，该图不存在最小生成树

• “最小”：保证生成树的所有边的权重和最小

• “生成”：覆盖所有的顶点
• 最小生成树存在的充要条件是图 \(G\) 是连通的
• 如果在生成树中添加一条边，就会形成一个环
• 最小生成树是并不一定是唯一的，但最小生成树的总权重是唯一的

如何求解？——贪心算法 (greedy algorithm)，每一步都采取最优策略，但有以下限制：

• 必须使用图里面的边
• 必须用到 \(|V| - 1\) 条边
• 不能出现环

Prim's Algorithm⚓︎

方法：生成一棵树，与 Dijkstra 算法非常相似，适用于稠密图中

• 初始情况下，先将一个顶点作为树的根放入树内
• 在每个阶段，添加边 (u, v)，满足 (u, v) 的权重是来自已有生成树的顶点 u 和来自生成树外的 v 之间的所有边中权重最小的那条，且不产生环，然后将新的顶点 v 添加至树里
• 重复上述步骤，直至所有顶点均在生成树内

动画演示

与 Dijkstra 不同之处在于：

• 要保存两类值 \(d_v\) 和 \(p_v\)：

  • \(d_v\)：连接 \(v\) 和已知顶点的最短路的权重
  • \(p_v\)：最后一个导致 \(d_v\) 改变的顶点

• 更新规则更加简单：对于已经选入树内的顶点 \(v\)，它的邻接顶点 \(w\) 满足 \(d_w = \min(d_w, c_{w, v})\)

注：由于这是无向图，因此需要用到两张邻接表存储图

时间复杂度：

• 不用堆（适用于稠密图）：\(O(|V|^2)\)
• 二叉堆（适用于稀疏图）：\(O(E\log|V|)\)

/*
* Function: prim
* --------------
*   Find a minimum spanning tree for the given undirected
*   graph by using Prim's algorithm
*
*   w_adj_mat: the weighted adjacency matrix
*   n: the number of vertices
* 
*   returns: the total edge weights of the MST
*/
int prim(int w_adj_mat[MAX][MAX], int n)
{
int dist[MAX]; // distance from vertex i to the known part
int prev[MAX]; // for tracing the edges of MST
int known[MAX]; // 1 if the vertex i is checked, 0 if not

// initialization
for (int i = 0; i < n; i++)
{
    dist[i] = INFINITY;
    prev[i] = -1;
    known[i] = 0;
}

dist[0] = 0; // start from vertex 0
for (int k = 0; k < n; ++k)
{
    // choose the vertex closest to the known part
    int min_d = INFINITY;
    int min_v = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
    if (!known[i] && dist[i] < min_d)
    {
        min_d = dist[i];
        min_v = i;
    }
    }

    // relaxation of vertices adjacent to the chosen one
    known[min_v] = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
    if (!known[i])
    {
        if (w_adj_mat[min_v][i] && dist[i] > w_adj_mat[min_v][i])
        {
        dist[i] = w_adj_mat[min_v][i];
        prev[i] = min_v;
        }
    }
    }
}

// total edge weights
int total_w = 0;
for (int i = 1; i < n; ++i)
    total_w += dist[i];
return total_w;
}

Kruskal's Algorithm⚓︎

方法：维持一片森林（一组树），适用于稀疏图中

• 初始情况下，有 \(|V|\) 棵单个节点构成的树
• 添加一条边，可以合并两棵树。当算法结束时，应当只剩下一棵树。因此，我们很自然地想到使用并查集的算法

• 挑选边（这里假设挑选边 \((u, v)\) ）时要注意的细节：

  • 如果 u, v 在同一个集合内，则不能添加这条边（否则会出现环）
  • 否则加入这条边，使用 Union 算法将两个集合合并起来
  • 用堆维护未被检验过的最小的边，每当检验一条边时，使用 DeleteMin 算法

图示：

伪代码实现：

void Kruskal(Graph G)
{
    T = { };
    while (T contains less than [V] - 1 edges && E is not empty)
    {
        choose a least cost edge(v, w) from E; // DeleteMin
        delete(v, w) from E;
        if ((v, w) does not create a cycle in T)
            add(v, w) to T; // Union/Find
        else
            discard(v, w);
    }
    if (T contains fewer than [V] - 1 edges)
        Error("No spanning tree");
}

void Kruskal(Graph G)
{
    int EdgesAccepted;
    DisjSet S;
    PriorityQueue H;
    Vertex U, V;
    SetType Uset, Vset;
    Edge E;

    Initialize(S);
    ReadGraphIntoHeapArray(G, H);
    BuildHeap(H);

    EdgeAccepted = 0;
    while (EdgesAccepted < NumVertex - 1)
    {
        E = DeleteMin(H);  // E = (U, V)
        Uset = Find(U, S);
        Vset = Find(V, S);
        if (Uset != Vset)
        {
            // Accept the edge
            EdgesAccepted++;
            SetUnion(S, Uset, Vset);
        }
    }
}

由于每条边要存 3 个字段，因此用指针数组存储边可能更加高效。

时间复杂度：\(T = O(|E|\log |E|) = O(|E| \log |V|) \quad (|E| = O(|V|^2))\)

Applications of Depth-First Search⚓︎

深度优先搜索 (depth-first search, DFS)是一种前序遍历的泛化

• 树：时间复杂度 \(T = O(|E|)\ (|E| = \Theta(|V|))\)
• 图：注意要避免环 (cycles)，所以访问过的顶点就要对其标记，然后接着访问未访问过的顶点。
• 如果无向图不连通，或者有向图不是强连通的，那么用一次 DFS 无法访问所有顶点，需要对未标记的顶点再用一次 DFS，直至所有顶点都被标记。因此，时间复杂度为 \(O(|E| + |V|)\)

模版：

void DFS(Vertex V)
{
    visited[V] = true; // mark this vertex to void cycles
    for (each W adjacent to V)
        if (!visited[W])
            DFS(W);
}

Undirected Graphs⚓︎

当且仅当 1 次 DFS 能够遍历所有顶点时，无向图是连通的

我们可以使用深度优先生成树 (depth-first spanning tree)来形象展示 DFS 的过程。当我们发现某条边 (v, w) 中的 w 已被标记过，用虚线画出这条边，称作“回边 (back edge)”，表示这条边不包含于生成树里，如图所示：

如果无向图不连通，则可以生成深度优先生成森林 (depth-first spanning forest)

代码实现：

void ListComponents(Graph G)
{
    for (each V in G)
    {
        if (!visited[V])
            DFS(V);
            printf("\n");
    }
}

Biconnectivity⚓︎

• 当G' = DeleteVertex(G, v)至少有 2 个连通分量时，称v为关节点 (articulation point)或者割点 (cut vertex)

  换句话说，关节点的移除能够破坏图的连通性

• 没有关节点的连通图 G 被称为双连通图 (biconnected graph)

  注：之所以被称为双连通图，是因为至少需要移除两个及以上的顶点，才能形成有多个连通分量的子图

• 双连通分量 (biconnected component)：极大双连通子图

注：没有一条边会同时出现在多个双连通分量中。因此 E(G) 被双连通分量划分，而双连通分量又被关节点划分

// Assign Num and compute Parents
void AssignNum(Vertex V)
{
    Vertex W;

    Num[V] = Counter++;
    Visited[V] = ture;
    for each W adjacent to V
        if (!Visited[W])
        {
            Parent[W] = V;
            AssignNum(W);
        }
}

// Assign Low; also check for articulation points
void AssignLow(Vertex V)
{
    Vertex W;

    Low[V] = Num[V]; // Rule 1
    for each W adjacent to V
    {
        if (Num[W] > Num[V])
        {
            AssignLow(W);
            if (Low[W] >= Num[V])
                printf("%v is an articulation point\n", v);
            Low[V] = Min(Low[V], Low[W]);  // Rule 3
        }
        else if (Parent[V] != W)
            Low[V] = Min(Low[V], Num[W]);  // Rule 2
    }
}

// Testing for articulation points in one depth-first search
void FindArt(Vertex V)
{
    Vertex W;

    Visited[V] = True
    Low[V] = Num[V] = Counter; // Rule 1
    for each W adjacent to V
    {
        if (!Visited[W])
        {
            Parent[W] = V;
            FindArt(W);
            if (Low[W] >= Num[V])
                printf("%v is an articulation point\n", v);
            Low[V] = Min(Low[V], Low[W]);  // Rule 3
        }
        else if (Parent[V] != W)
            Low[V] = Min(Low[V], Num[W]);  // Rule 2
    }
}

Euler Circuits⚓︎

• 欧拉路 (Euler tour)：在笔不离纸的情况下，图上的每条边均被遍历一遍（一笔画）
• 欧拉环 (Euler circuit)：在笔不离纸的情况下，图上的每条边均被遍历一遍，且最后回到起点的位置

动画演示

判断方法：

• 无向图：
  • 当且仅当图是连通的，且每个顶点的度为偶数时，存在欧拉环
  • 当且仅当图是连通的，且仅有两个顶点的度为奇数时，存在欧拉路
• 有向图：
  • 当且仅当图是弱连通的，且每个顶点的出度 = 入度时，存在欧拉环
  • 当且仅当图是弱连通的，且有且仅有一个顶点的出度 = 入度 + 1，有且仅有一个顶点的入度 = 出度 + 1，其余顶点的出度 = 入度时，存在欧拉路

利用DFS寻找欧拉环：

动画演示

• 用链表维护路径
• 对于每个邻接表，维护一个指向最后被扫描的边
• 时间复杂度 \(T = O(|E| + |V|)\)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define SIZE 201
#define PSIZE 2001

typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode; 
struct AdjVNode{
    int AdjV;
    PtrToAdjVNode Next;
};

typedef struct Vnode{
    PtrToAdjVNode FirstEdge;
} AdjList[SIZE];

typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{  
    int Nv;
    int Ne;
    AdjList G;
};
typedef PtrToGNode LGraph;

void HCycle(LGraph g, int p[ ]);

int main()
{
    int n, m, k, q;
    int i, j;
    int v1, v2;
    int path[PSIZE];
    LGraph Graph;
    PtrToAdjVNode cur1, cur2;

    Graph = (PtrToGNode)malloc(sizeof(struct GNode));
    scanf("%d%d", &n, &m);
    Graph->Nv = n;
    Graph->Ne = m;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        Graph->G[i].FirstEdge = NULL;
    }

    for (i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d%d", &v1, &v2);
        cur1 = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
        cur1->AdjV = v2;
        cur1->Next = Graph->G[v1 - 1].FirstEdge;
        Graph->G[v1 - 1].FirstEdge = cur1;
        cur2 = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
        cur2->AdjV = v1;
        cur2->Next = Graph->G[v2 - 1].FirstEdge;
        Graph->G[v2 - 1].FirstEdge = cur2;
    }

    scanf("%d", &k);
    for (i = 0; i < k; i++)
    {
        scanf("%d", &q);
        for (j = 0; j < q; j++)
            scanf("%d", &path[j]);
        if (q != Graph->Nv + 1)
            printf("NO\n");
        else
            HCycle(Graph, path);
    }

    return 0;

}

void HCycle(LGraph g, int p[ ])
{
    int i;
    int flag[SIZE];
    PtrToAdjVNode cur;

    if (p[0] != p[g->Nv])
    {
        printf("NO\n");
    }
    else
    {
        for (i = 0; i < g->Nv; i++)
            flag[i] = 0;
        for (i = 1; i < g->Nv + 1; i++)
        {
            if (flag[p[i - 1] - 1] == 1)
            {
                printf("NO\n");
                return;
            }
            cur = g->G[p[i - 1] - 1].FirstEdge;
            while (cur != NULL && cur->AdjV != p[i])
                cur = cur->Next;
            if (cur == NULL)
            {
                printf("NO\n");
                return;
            }
            flag[p[i - 1] - 1] = 1;
        }
        printf("YES\n");
    }
} 

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