第十一章 级数

数项级数的基本概念⚓︎

概念⚓︎

• 级数：$\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n + \dots$

• 部分和：$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$，且 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}S_n$

  • 若 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}S_n = S$，称级数收敛，并称 $S$ 为级数的和
  • 若 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}S_n$ 不存在，则称级数发散

性质⚓︎

• 线性运算法则：若级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n, \sum\limits_{n = 1}^\infty v_n$ 均收敛，且 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n = A, \sum\limits_{n = 1}^\infty v_n = B$，则对任意常数 $\alpha, \beta$，有

• 下列三种情况不会影响级数的敛散性：

  • 改变级数的有限项
  • 去掉级数前的有限项
  • 在级数前增添有限项

• 收敛级数的结合性：若级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛，则在级数中任意添加括号所得到的新级数也收敛，且其和不变。

• 级数收敛的必要条件：若级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛，则 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n = 0$。

  • 推论 ( 逆否命题 )：若 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n$ 不存在或 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n \ne 0$，则级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 发散。

定理 1( 柯西收敛准则 )：级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛的充要条件是：$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}_+,$，当 $n > N$ 时，$\forall p \in \mathbb{N}_+, |u_{n+1} + u_{n+2} + \dots + u_{n+p}| < \varepsilon$。

正向级数敛散性的判别法⚓︎

正项级数$\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 满足 $u_n \ge 0$

定理 2：正向级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛的充要条件是：正项级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界，即存在常数 $M$，$\forall n \in N$，都有 $S_n \le M$。

一般级数收敛性的判别法⚓︎

交错级数⚓︎

交错级数：$\sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^{n-1}u_n(u_n > 0)$

定理 3( 莱布尼茨公式 )：若有交错级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^{n-1}u_n$ 满足下列条件：

• $u_1 \ge u_2 \ge u_3 \ge \dots$
• $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n = 0$

则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty (-1)^{n-1}u_n$ 收敛，且它的和 $S \le u_1$

推论：若交错级数满足莱布尼茨定理的条件，则以 $S_n$ 作为级数和的近似值时，其误差 $R_n$ 不超过 $u_{n+1}$，即 $|R_n| = |S - S_n| \le u_{n+1}$

绝对收敛级数与条件收敛级数⚓︎

定理 4：若 $\sum\limits_{n = 1}^\infty |u_n|$ 收敛，则 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 也收敛

设 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 为一般级数

• 若 $\sum\limits_{n = 1}^\infty |u_n|$ 收敛，称 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$绝对收敛
• 若 $\sum\limits_{n = 1}^\infty |u_n|$ 发散，但 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 收敛，称 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$条件收敛

绝对收敛级数的性质⚓︎

定理 5：设 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n$ 绝对收敛，则重排的级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u'_n$ 也绝对收敛，且它的和与原级数的和相等。

定理 6( 柯西定理 )：若级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n, \sum\limits_{n = 1}^\infty v_n$ 绝对收敛，设 $\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n = A, \sum\limits_{n = 1}^\infty v_n = B$，则下表中所有乘积 $u_iv_j$ 按任意顺序排列所得的级数 $\sum\limits_{n = 1}^\infty w_n$ 绝对收敛，且其和 = AB。

函数项级数的概念⚓︎

函数项级数：$\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n(x) = u_1(x) + u_2(x) + \dots + u_n(x) + \dots$

若 $\exists x_0$，$\sum\limits_{n = 1}^\infty u_n(x_0)$ 收敛，称 $x_0$ 为函数项级数的收敛点。函数项级数全体收敛点的集合被称为函数项级数的收敛域，记为 $D$。

令 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}S_n(x) = S(x), x \in D$，称 $S(x)$ 为函数项级数的和函数。

称 $R_n(x) = S(x) - S_n(x) = u_{n+1}(x) + u_{n+2}(x) + \dots$ 为函数项级数的余项，它满足 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x) = 0$

幂级数及其和函数⚓︎

概念⚓︎

幂级数：$\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n(x - x_0)^n = a_0 + a_1 (x- x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \dots + a_x(x - x_0)^n + \dots$

一般我们只考虑 $x_0 = 0$ 的情况，即 $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$，因此后面的内容就默认 $x_0 = 0$ 了。

定理 7( 阿贝尔定理 )：

• 若级数 $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ 在 $x = x_0(x_0 \ne 0)$ 处收敛，则满足 $|x| < |x_0|$ 的一切 $x$ 使该幂级数绝对收敛
• 若级数 $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ 在 $x = x_0(x_0 \ne 0)$ 处发散，则满足 $|x| > |x_0|$ 的一切 $x$ 使该幂级数发散

• 收敛域：以原点为中心的区间 $D$，用 $2R$ 表示区间长度
• 收敛半径：$R$
• 收敛区间：$(-R, R)$

注：$(-R, R) \subseteq D \subseteq [-R, R]$，因此最后还要判断一下边界上幂级数是否收敛

性质⚓︎

若幂级数 $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ 的收敛半径为 $R(> 0)$，则：

• 级数在收敛域上的和函数 $S(x)$ 是连续函数，当然 $S(x)$ 在 $(-R, R)$ 内也连续
• 级数在 $(-R, R)$ 内逐项可微，微分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径，即： $$(\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n)' = \sum\limits_{n = 0}^\infty (a_n x^n)'$$
• 级数在 $(-R, R)$ 内逐项可积，积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径，即： $$\int_0^x(\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n) \mathrm{d}x = \sum\limits_{n = 0}^\infty (\int_0^x a_n x^n \mathrm{d}x)$$

推论：设 $S(x)$ 为幂级数在收敛区间 $(-R, R)$ 内的和函数，则

• 在 $(-R, R)$ 内 $S(x)$ 具有任何阶导数且可逐项求导，收敛半径仍为 $R$
• 唯一性定理：幂级数的系数与 $S(x)$ 在 $x = 0$ 处的各阶导数有如下关系： $$a_0 = S(0), a_n = \dfrac{S^{(n)}(0)}{n!}, n = 1, 2, \dots$$

运算法则⚓︎

• 若级数 $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ 与 $\sum\limits_{n = 0}^\infty b_n x^n$ 在 $x = 0$ 的某邻域相等，则它们的同次幂项的系数相等，即 $a_n = b_n, n = 0, 1, 2, \dots$
• 若级数 $\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n$ 与 $\sum\limits_{n = 0}^\infty b_n x^n$ 的收敛半径分别为 $R_a, R_b$，则：

其中 $\lambda$ 为常数，$R = \min\{R_a, R_b\}$，$c_n = \sum\limits_{k = 0}^n a_kb_{n-k}$

和函数⚓︎

函数展成幂级数⚓︎

泰勒级数⚓︎

回顾：泰勒公式 $$f(x) = f(x_0) + \dfrac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$$

其中拉格朗日余项 $R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$，$\xi$ 介于 $x_0, x$ 之间

定理 10：设 $f(x)$ 在区间 $|x - x_0| < R$ 内存在任意阶的导数，幂级数 $\sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$ 的收敛区间为 $|x - x_0| < R$，则在 $|x - x_0| < R$ 内 $f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$ 成立的充要条件是：在该区间内，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} R_x(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} = 0$

上述幂级数被称为泰勒级数，当 $x_0 = 0$ 时，被称为麦克劳林级数：

基本初等函数的幂级数展开⚓︎

其他方法⚓︎

求幂级数的和函数的方法的逆过程

函数的傅里叶展开⚓︎

概念⚓︎

傅里叶级数： $$\dfrac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty (a_n \cos \dfrac{n\pi x}{l} + b_n \sin \dfrac{n \pi x}{l})$$

其中 $a_n, b_n$ 被称为傅里叶系数，满足：

周期函数的傅里叶展开⚓︎

定理 11( 狄利克雷定理 )：如果 $f(x)$ 是以 $T = 2l$ 为周期的周期函数，且 $f(x)$ 在 $[-l, l]$ 上逐段光滑，那么 $f(x)$ 的傅里叶级数在任意点 $x$ 处都收敛，并且收敛于 $f(x)$ 在该点左右极限的平均值，即：