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第九章 多元函数积分学⚓︎

约 5528 个字 预计阅读时间 28 分钟

注

对于表述复杂的积分区域 ( 比如用两个曲面表示直线的一般式方程 )，可以先对方程进行化简 ( 如果可以的话 )，然后再计算积分

二重积分⚓︎

概念⚓︎

引入

求下列实际问题，我们采用与推导定积分时类似的步骤：

  1. 分割
  2. 近似
  3. 作和
  4. 取极限

体积 \(V = \lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i\)

面密度：\(\lim\limits_{\Delta \sigma \rightarrow P_0}\dfrac{\Delta m}{\Delta \sigma}\)

质量 \(M = \lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i\)

定义：

设二元函数 \(f(P) = f(x, y)\) 在平面有界闭区域 \(\sigma\) 上有界，用曲线网将区域 \(\sigma\) 任意分成 n 个 ( 彼此无公共内点的 ) 小闭区域 \(\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \dots, \Delta \sigma_n\)，仍以 \(\Delta \sigma_i\) 记为小区域的面积，

  • \(\forall P_i(\xi_i, \eta_i) \in \Delta \sigma_i, f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i\) 被称为积分元
  • 积分和式：\(\sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i\)

  • 二重积分 ( 黎曼积分 )：\(\iint\limits_\sigma f(x, y)\mathrm{d}\sigma = \lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i\)，其中

    • 被积函数：\(f(P) = f(x, y)\)
    • 积分区域：\(\sigma\)
    • 被积表达式：\(f(x, y)\mathrm{d}\sigma\)
    • 积分变量：x, y
    • 面积元素：\(\mathrm{d}\sigma\)

定理 1：若 f(x, y) 在有界闭区域 \(\sigma\) 上连续，则 f(x, y) 在 \(\sigma\) 上可积。

补充

  • 平面图形的面积 $\sigma = \iint\limits_\sigma \mathrm{d}\sigma $
  • 几何意义：曲顶柱体的体积

性质⚓︎

  • \(\iint\limits_\sigma [f(x, y) \pm g(x, y)] \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma \pm \iint\limits_\sigma g(x, y) \mathrm{d}\sigma\)
  • \(\iint\limits_\sigma kf(x, y) \mathrm{d}\sigma = k\iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma\) (k 为任意常数 )
  • \(\iint\limits_\sigma 1 \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_\sigma \mathrm{d}\sigma = \sigma\)
  • 若 \(\sigma\) 可分解为 2 个不共内点的区域 \(\sigma_1, \sigma_2\)，记作 \(\sigma = \sigma_1 + \sigma_2\)，则有：
\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_{\sigma_1} f(x, y) \mathrm{d}\sigma + \iint\limits_{\sigma_2} f(x, y) \mathrm{d}\sigma \]
    • 若 \(\iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma\) 存在，\(f(x, y) \ge 0\)，则 \(\iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma \ge 0\)
    • 若 \(f(x, y) \le g(x, y), (x, y) \in \sigma\)，则 \(\iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma \le \iint\limits_\sigma g(x, y)\mathrm{d} \sigma\)
    • 若 \(f(x, y) \ge 0, f(x, y) \not\equiv 0, (x, y) \in \sigma\) 且 \(f(x, y)\) 连续，则 \(\iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma > 0\)
    • 若 \(f(x, y) \le g(x, y), f(x, y) \not\equiv g(x, y), (x, y) \in \sigma\) 且 \(f(x, y), g(x, y)\) 连续，则 \(\iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma < \iint\limits_\sigma g(x, y) \mathrm{d}\sigma\)

  • \(|\iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma| \le \iint\limits_\sigma |f(x, y)| \mathrm{d}\sigma\)

  • 二重积分中值定理：若 f(x, y) 在有界闭区域 \(\sigma\) 上连续，则在 \(\sigma\) 上至少存在一点 \(P(x^*, y^*)\)，使得 \(\iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = f(x^*, y^*) \sigma\)

    • 推论：\(m \sigma \le \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma \le M \sigma\)
    • 几何意义：曲顶柱体的体积 = 以 \(\sigma\) 为底，\(f(x^*, y^*)\) 为高的柱体体积

计算⚓︎

直角坐标系⚓︎

x- 型区域 & y- 型区域

\(D = {(x, y): \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x), a \le x \le b}\)

\(D = {(x, y): \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y), c \le x \le d}\)

将区域分割成一系列的 x- 型区域和 ( 或 )y- 型区域，分别求解后再相加

注：考试中往往用 \(\partial D\) 表示积分区域 \(D\) 的边界

🌟计算二重积分的方法

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_a^b\mathrm{d}x \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x, y)\mathrm{d}y \]

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_c^d\mathrm{d}y \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x, y)\mathrm{d}x \]

\[ \int_a^b\mathrm{d}x \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x, y)\mathrm{d}y = \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \int_c^d\mathrm{d}y \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x, y)\mathrm{d}x \]

极坐标系⚓︎

直角坐标 \(\Rightarrow\) 极坐标

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \iint\limits_\sigma f(r \cos \theta, r\sin \theta) r \mathrm{d}r \mathrm{d} \theta \]

🌟计算方法

\(\sigma: r_1(\theta) \le r \le r_2(\theta), \alpha \le \theta \le \beta\)，即 \(\sigma\) 是由曲线 \(r = r_1(\theta)\)( 下曲线 )，\(r = r_2(\theta)\)( 上曲线 )，及射线 \(\theta = \alpha, \theta = \beta\) 所围成的区域，则：

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \int_\alpha^\beta \mathrm{d}\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos \theta, r\sin \theta)r \mathrm{d}r \]

\(\sigma: r_1(\theta) \le r \le r_2(\theta), \alpha \le \theta \le \beta\)

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \int_\alpha^\beta \mathrm{d}\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos \theta, r\sin \theta)r \mathrm{d}r \]

\(\sigma: 0 \le r \le r(\theta), \alpha \le \theta \le \beta\)

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \int_\alpha^\beta \mathrm{d}\theta \int_0^{r(\theta)}f(r\cos \theta, r\sin \theta)r \mathrm{d}r \]

\(\sigma: 0 \le r \le r(\theta), 0 \le \theta \le 2\pi\)

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{r(\theta)}f(r\cos \theta, r\sin \theta)r \mathrm{d}r \]

\(\sigma: \theta_1(r) \le \theta \le \theta_2(r), r_1 \le r \le r_2\)，即 \(\sigma\) 是由曲线 \(\theta = \theta_1(r), \theta = \theta_2(r)\) 与圆 \(r = r_1, r = r_2\) 所围成的区域，则有：

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \int_{r_1}^{r_2} \mathrm{d}r \int_{\theta_1(r)}^{\theta_2(r)}f(r\cos \theta, r\sin \theta)r \mathrm{d}\theta \]

\(\sigma: r = R\)

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^Rf(r\cos \theta, r\sin \theta)r \mathrm{d}r \]

\(\sigma: 0 \le r \le 2R \cos \theta, -\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\)

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\theta \int_0^{2R \cos \theta}f(r\cos \theta, r\sin \theta)r \mathrm{d}r \]

\(\sigma: 0 \le r \le 2R \sin \theta, 0 \le \theta \le \pi\)

\[ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \int_0^\pi \mathrm{d}\theta \int_0^{2R \sin \theta}f(r\cos \theta, r\sin \theta)r \mathrm{d}r \]

总结
  • 我们应根据区域的特征，选取更容易计算的方法求解。
  • 要熟悉一些特殊图形的曲线，比如摆线、心形线等 ( 见《微积分》( 上 ) 教材的附录部分 )

  • 小技巧：改良版极坐标法 ( 有些题目无法直接用极坐标做，则采用此法 )

    • 设 \(x = ar \cos^n \theta, y = br \sin^n \theta\)，记 \(|J| = nabr \cos^{n-1} \theta \sin^{n-1} \theta\)
    • $ \iint\limits_\sigma f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \int_\alpha^\beta \mathrm{d}\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(ar \cos^n \theta, br \sin^n \theta)|J| \mathrm{d}r$

三重积分⚓︎

概念⚓︎

引入

  • 设 V 为一空间立体，\(P_0(x_0, y_0, z_0) \in V\)，取包含 \(P_0\) 的 \(\Delta V\)，质量为 \(\Delta m\)，若 \(\lim\limits_{\Delta V \rightarrow P_0} \dfrac{\Delta m}{\Delta V}\) 存在，则该极限值被称为在 \(P_0\) 处的体密度。

  • 质量 \(M = \lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum\limits_{i = 1}^nf(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta V_i\)

定义：

设 f(x, y, z) 是空间有界闭区域 V 的有界函数，将 V 任意分成 n 个小闭区域 \(\Delta V_1, \Delta V_2, \dots, \Delta V_n\)，其中 \(\Delta V_i\) 既表示第 i 个小闭区域，也表示其体积。在每个 \(\Delta V_i\) 上任取一点 \((\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)，作乘积再求和得上述质量等式的右侧。若 \(\lambda\) 为各小闭区域直径最大值，当 \(\lambda \rightarrow 0\) 时，该和式极限总存在，称此极限为 f(x, y, z) 在 V 的三重积分，记作 \(\iiint\limits_{V} f(x, y, z) \mathrm{d}V\)，其中 \(\mathrm{d}V\) 叫做体积元素

在直角坐标系中，三重积分也可记作 \(\iiint\limits_{V} f(x, y, z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\)

直角坐标系的计算⚓︎

投影法

若立体 V 的投影区域为：

\(V = \{(x, y, z): z_1(x, y) \le z \le z_2(x, y), (x, y) \in \sigma_{xy}\}\)

\(\varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x), a \le x \le b\)

\[ \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V = \int_a^b \mathrm{d}x \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \mathrm{d}y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)}f(x, y, z) \mathrm{d}z \]

\(\psi_1(y) \le x \le \psi_2(y), c \le y \le d\)

\[ \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V = \int_c^d \mathrm{d}y \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} \mathrm{d}x \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)}f(x, y, z) \mathrm{d}z \]

\(V = \{(x, y, z): y_1(x, z) \le y \le y_2(x, z), (x, z) \in \sigma_{zx}\}\)

\[ \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V = \iint\limits_{\sigma_{zx}}\mathrm{d}\sigma \int_{y_1(x, z)}^{y_2(x, z)}f(x, y, z)\mathrm{d}y \]

若 \(\sigma_{zx}\) 为 x- 型区域：\(z_1(x) \le z \le z_2(x), a \le x \le b\)，则：

\[ \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V = \int_a^b \mathrm{d}x \int_{z_1(x)}^{z_2(x)} \mathrm{d}z \int_{y_1(x, z)}^{y_2(x, z)}f(x, y, z)\mathrm{d}y \]

\(V = \{(x, y, z): x_1(y, z) \le x \le x_2(y, z), (y, z) \in \sigma_{yz}\}\)

\[ \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V = \iint\limits_{\sigma_{yz}}\mathrm{d}\sigma \int_{x_1(y, z)}^{x_2(y, z)}f(x, y, z)\mathrm{d}x \]

注：对有些较难画的曲面，关键是要画出曲面与曲面的交线，交线与交线的交点，并确定投影区域及上曲面、下曲面方程

平面截割法

\(V = \{(x, y, z): (x, y) \in D_z, c \le z \le d\}\)

\[ \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V = \int_c^d \mathrm{d}z \iint\limits_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d}\sigma = \int_c^d \mathrm{d}z \iint\limits_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{d}y \]

若 \(D_z\) 为 x- 型区域，则： $$ \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V = \int_c^d \mathrm{d}z \int_{x_1(z)}^{x_2(z)} \mathrm{d}x \int_{y_1(x, z)}^{y_2(x, z)} f(x, y, z) \mathrm{d}y $$

\(V = \{(x, y, z): (x, z) \in D_y, c \le y \le d\}\)

\[ \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V = \int_c^d \mathrm{d}y \iint\limits_{D_y} f(x, y, z) \mathrm{d}\sigma = \int_c^d \mathrm{d}y \iint\limits_{D_y} f(x, y, z) \mathrm{d}z \mathrm{d}x \]

\(V = \{(x, y, z): (y, z) \in D_x, a \le x \le b\}\)

\[ \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V = \int_a^b \mathrm{d}x \iint\limits_{D_x} f(x, y, z) \mathrm{d}\sigma = \int_a^b \mathrm{d}x \iint\limits_{D_x} f(x, y, z) \mathrm{d}y \mathrm{d}z \]

有时 ( 比如用极坐标表示截面更加方便时 )，平面截割法 + 极坐标转换的食用效果更佳

柱面坐标系的计算⚓︎

柱面坐标系：

柱面坐标系的坐标曲面：

  • 一族以 Oz 轴为对称轴的圆柱面：\(r = r_i\)( 常 )，即 \(x^2 + y^2 = r_i^2\)
  • 一族通过 Oz 轴的半平面：\(\theta = \theta_i\)( 常 )，即 \(y = x\tan \theta_i\)
  • 一族垂直 Oz 轴的平面 \(z = z_i\)( 常 )

( 推导过程略 )

\[ \begin{align} \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V & = \iiint\limits_V f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) r\mathrm{d} r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z \notag \\ & = \iint\limits_{\sigma_{xy}} r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \int_{z_1(r, \theta)}^{z_2(r, \theta)}f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \mathrm{d}z\notag \end{align} \]

注：柱面坐标系本质上是投影法 + 极坐标转换

球面坐标系的计算⚓︎

球面坐标系：

其中 \(\varphi\) 为 \(\overrightarrow{OM}\) 为与 Oz 轴的夹角，\(\theta\) 为投影点 M' 的极角，\(\rho\) 为点 M 到原点的距离

球面坐标系的坐标曲面：

  • 一族中心在原点的球面：\(\rho = r_i\)( 常 )，即 \(x^2 + y^2 + z^2= r_i^2\)
  • 一族顶点在原点而对称轴与 Oz 轴重合的圆锥面：\(\varphi = \varphi_i\)( 常 )，即 \(x^2 + y^2 - z^2 \tan^2\varphi_i = 0\)
  • 一族通过 Oz 轴的半平面 \(\theta = \theta_i\)( 常 )，即 \(y = x\tan \theta_i\)

直角坐标 \(\Rightarrow\) 球面坐标

\[ \begin{cases} x = \rho \sin \varphi \cos \theta \\ y = \rho \sin \varphi \sin \theta \\ z = \rho \cos \varphi \end{cases} \]

从而：

\[ \begin{align} \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V & = \iiint\limits_V f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^2 \sin \varphi \mathrm{d} \rho \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta \notag \\ & = \int_\alpha^\beta \mathrm{d}\theta \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{\rho_1(\theta, \varphi)}^{\rho_2(\theta, \varphi)} \rho^2 f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \mathrm{d} \rho \notag \end{align} \]

其中：\(\rho_1(\theta, \varphi) \le \rho \le \rho_2(\theta, \varphi),\ \varphi_1(\theta) \le \varphi \le \varphi_2(\theta),\ \alpha \le \theta \le \beta\)

“椭球”坐标系

设坐标为：

\[ \begin{cases} x = a\rho \sin \varphi \cos \theta \\ y = b\rho \sin \varphi \sin \theta \\ z = c\rho \cos \varphi \end{cases} \]

令 \(|J| = abc\rho^2 \sin \varphi\)，则

\[ \begin{align} & \iiint\limits_V f(x, y, z) \mathrm{d}V \notag \\ = & \int_\beta^\alpha \mathrm{d}\theta \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} \mathrm{d} \varphi \int_{\rho_1(\theta, \varphi)}^{\rho_2(\theta, \varphi)}|J| f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \mathrm{d} \rho \notag \end{align} \]
总结
  • 根据区域的特征选取最容易计算的方法
  • 需要熟记常用的二次曲面方程，否则很难确定积分区域的范围

该选取哪个坐标系呢？

按照笔记给出的顺序 ( 直角坐标系的投影法、平面截割法，柱面坐标系、球面坐标系 )，根据情况，看哪个简单就用那个。

有时看似无法用直角坐标系做，但如果我们稍微变换一下积分区域，比如从 x- 型区域转化为 y- 型区域，就能够成功计算积分了。

不要一上来就用球面坐标系，有时候可能用直角坐标系更快一些。

第一类曲线积分与第一类曲面积分⚓︎

第一类曲线积分⚓︎

定义：设函数 f(P) 是定义在以 A, B 为端点的光滑曲线 \(\Gamma\) 上的有界函数，在 \(\Gamma\) 上任意取点：\(A = M_0, M_1, M_2, \dots, M_n = B\)，将曲线分成 n 个部分。记弧 \(\widehat{M_{i-1}M_i}\) 的长度为 \(\Delta s_i\)，并在 \(\widehat{M_{i-1}M_i}\) 任取一点 \(P_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)，作和 \(\sum\limits_{i-1}^nf(P_i)\Delta s_i\)。记 \(\lambda = \max\{\Delta s_i: 1 \le i \le n\}\)。称下列极限值为 \(f(P)\) 沿 \(\Gamma\) 的第一类曲线积分 ( 若存在 ):

\[ \int\limits_\Gamma f(P) \mathrm{d}s = \lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i = 1}^n f(P_i) \Delta s_i \]

第一类曲线积分又被称为对弧长曲线积分

计算

本质上是将第一类曲线积分 \(\Rightarrow\) 一元函数定积分

若 \(\Gamma: \begin{cases}x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t)\end{cases}, \alpha \le t \le \beta\)，则：

\[ \int\limits_\Gamma f(P) \mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} \mathrm{d} t \]

若 \(\Gamma: y = \varphi(x), x \in [a, b]\)，则

\[ \int\limits_\Gamma f(x, y) \mathrm{d}s = \int_a^b f(x, \varphi(x))\sqrt{1 + \varphi'^2(x)} \mathrm{d} x \]

若 \(\Gamma: x = \psi(y), y \in [c, d]\)，则

\[ \int\limits_\Gamma f(x, y) \mathrm{d}s = \int_a^b f(\psi(y), y)\sqrt{1 + \psi'^2(y)} \mathrm{d} y \]

若 \(\Gamma: r = r(\theta), \theta \in [\alpha, \beta]\)，则

\[ \int\limits_\Gamma f(x, y) \mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(r\cos \theta, r\sin \theta)\sqrt{r^2(\theta) + r'^2(\theta)} \mathrm{d} \theta \]

第一类曲线积分也具有二重积分的八条性质。

第一类曲面积分⚓︎

定义：设函数 f(x, y, z) 是定义在有界光滑曲面 S 上的有界函数，用曲线网将 S 分成任意 n 部分：\(\Delta S_1, \Delta S_2, \dots, \Delta S_n\)，仍用 \(\Delta S_i\) 记 \(\Delta S_i\) 的面积，并在 \(\Delta S_i\) 上任取点 \(P_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\)，作和 \(\sum\limits_{i-1}^nf(P_i)\Delta S_i\)。记 \(\lambda\) 为 \(\Delta S_i\) 直径最大者。称下列极限值为 \(f(P)\) 沿 S 的第一类曲面积分 ( 若存在 ):

\[ \iint\limits_S f(P) \mathrm{d}S = \lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i = 1}^n f(P_i) \Delta S_i \]

第一类曲面积分又被称为对面积曲面积分

计算

本质上是将第一类曲面积分 \(\Rightarrow\) 二重积分

若 \(S: z = z(x, y), (x, y) \in \sigma_{xy}\)(\(\sigma_{xy}\) 是 S 在 Oxy 平面上的投影 )，则：

\[ \iint\limits_S f(x, y, z) = \iint\limits_{\sigma_{xy}} f(x, y, z(x, y))\sqrt{1 + z'^2_x + z'^2_y} \mathrm{d}\sigma \]

注：若缺少某些变量，比如 \(z = 2\sqrt{x}\)，这时积分内根号里的内容还是 \(1 + z'^2_x + z'^2_y\)，没有省略

若 \(S: y = y(x, z), (x, z) \in \sigma_{zx}\)(\(\sigma_{zx}\) 是 S 在 Ozx 平面上的投影 )，则：

\[ \iint\limits_S f(x, y, z) = \iint\limits_{\sigma_{zx}} f(x, y(x, z), z)\sqrt{1 + y'^2_x + y'^2_z} \mathrm{d}\sigma \]

若 \(S: x = x(y, z), (y, z) \in \sigma_{yz}\)(\(\sigma_{yz}\) 是 S 在 Oyz 平面上的投影 )，则：

\[ \iint\limits_S f(x, y, z) = \iint\limits_{\sigma_{yz}} f(x(y, z), y, z)\sqrt{1 + x'^2_y + x'^2_z} \mathrm{d}\sigma \]

注

任意曲面与柱体相交形成的交曲面，它的投影区域即为柱体的底面。这样，我们可以直接使用上面的计算方法求解。

常见应用：给定面密度 e 和曲面方程，求该金属薄板的质量

点函数积分的概念、性质及应用⚓︎

概念⚓︎

定义：设 \(\Omega \subset \mathbf{R}(or\ \mathbf{R}^2\ or\ \mathbf{R^3})\)，且 \(\Omega\) 为有界闭区域。设 \(u = f(P), P \in \Omega\) 为 \(\Omega\) 上的有界点函数。任用一种分割法将 \(\Omega\) 分成 n 个子闭形体 \(\Delta \Omega_1, \Delta \Omega_2, \dots, \Delta \Omega_n\)，这些子闭形体的度量仍记为 \(\Delta \Omega_i(i = 1, 2, \dots, n)\)，设 \(\lambda_i = \max \{\rho(P_1, P_2): P_1, P_2 \in \Delta \Omega_i\}\) 为 \(\Delta \Omega_i\) 的直径，令 \(\lambda = \max\{\lambda_i: 1 \le i \le n\}\)。称下列极限值为点函数 \(f(P)\) 在 \(\Omega\) 上的积分 ( 若存在 ):

\[ \int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d} \Omega = \lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^n f(P_i) \Delta \Omega_i \]
  • 积分元：\(f(P_i)\Delta \Omega_i\)
  • 积分和式：\(\sum\limits_{i = 1}^n f(P_i) \Delta \Omega_i\)
  • 积分区域：\(\Omega\)
  • 被积函数：\(f(P)\)
  • 积分变量：\(P\)
  • 被积表达式：\(f(P) \mathrm{d} \Omega\)
  • 度量元素：\(\mathrm{d} \Omega\)

物理意义：当 \(f(P) \ge 0\) 时，\(\int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d} \Omega\) 表示密度为 \(\rho = f(P)\) 的空间形体的质量 M。特别地，当 \(f(P) \equiv 1\) 时，\(\int\limits_{\Omega}\mathrm{d} \Omega = \Omega\)

定理 2：若 \(f(P)\) 在有界闭区域 \(\Omega\) 上连续，则 \(f(P)\) 在 \(\Omega\) 上可积。

性质⚓︎

设 \(f(P), g(P)\) 在有界闭区域 \(\Omega\) 上都可积，有：

  • 线性运算法则：

    • \(\int\limits_\Omega [f(P) \pm g(P)] \mathrm{d}\Omega = \int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d}\sigma \pm \int\limits_\Omega g(P) \mathrm{d}\Omega\)
    • \(\int\limits_\Omega kf(P) \mathrm{d}\Omega = k\int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d}\Omega\) (k 为任意常数 )

  • \(\int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d}\Omega = \int\limits_{\Omega_1} f(P) \mathrm{d}\Omega + \int\limits_{\Omega_2} f(P) \mathrm{d}\Omega\)，其中 \(\Omega_1 \cup \Omega_2 = \Omega\)，且 \(\Omega_1, \Omega_2\) 无公共内点

    • 若 \(f(P) \ge 0, P \in \Omega\)，则 \(\int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d}\Omega \ge 0\)
    • 若 \(f(P)\) 连续，\(f(P) \ge 0, f(P) \not \equiv 0, P \in \Omega\)，则 \(\int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d} \Omega > 0\)
    • 若 \(f(P) \le g(P), P \in \Omega\)，则 \(\int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d}\Omega \le \int\limits_\Omega g(x, y) \mathrm{d}\Omega\)
    • 若 \(f(P), g(P)\) 连续，\(f(P) \le g(P), f(P) \not\equiv g(P), P \in \Omega\) 且 \(f(x, y), g(x, y)\) 连续，则 \(\int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d}\Omega < \int\limits_\Omega g(x, y) \mathrm{d}\Omega\)

  • 若 \(f(P)\) 连续，\(|\int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d}\Omega| \le \int\limits_\Omega |f(P)| \mathrm{d}\Omega\)

  • 若 \(f(P)\) 在积分区域 \(\Omega\) 上满足 \(m \le f(P) \le M\)，其中 \(m, M\) 均为常数，则

\[m \Omega \le \int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d}\Omega \le M \Omega\]
  • 中值定理：若 f(P) 在有界闭区域 \(\Omega\) 上连续，则至少存在一点 \(P^* \in \Omega\)，使得
\[\int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d}\sigma = f(P^*) \Omega\]

\(f(P^*) = \dfrac{\int\limits_\Omega f(P) \mathrm{d}\Omega}{\Omega}\) 被称为函数 \(f(P)\) 在 \(\Omega\) 上的平均值

分类⚓︎

  • \(\Omega = [a, b] \subset \mathbf{R}, f(P) = f(x), x \in [a, b]\) —— 一元函数定积分
  • \(\Omega = s \subset \mathbf{R}^2\)，s 是平面曲线，\(f(P) = f(x, y), (x, y) \in s\) —— 第一类平面曲线积分
  • \(\Omega = s \subset \mathbf{R}^3\)，s 是空间曲线，\(f(P) = f(x, y, z), (x, y, z) \in s\) —— 第一类空间曲线积分
  • \(\Omega = \sigma \subset \mathbf{R}^2\)，\(\sigma\) 是平面区域，\(f(P) = f(x, y), (x, y) \in \sigma\) —— 二重积分
  • \(\Omega = S \subset \mathbf{R}^3\)，S 是空间曲面，\(f(P) = f(x, y, z), (x, y, z) \in S\) —— 第一类曲面积分
  • \(\Omega = V \subset \mathbf{R}^3\)，V 是空间曲面，\(f(P) = f(x, y, z), (x, y, z) \in V\) —— 三重积分

对称区域上的点函数积分⚓︎

小贴士

如果发现积分函数过于复杂，难以直接计算，不妨停下笔，先观察积分函数的特征，观察是否函数是否具有对称性，若有则及时化简，这样也许会大幅降低计算难度

  • 若 \(\Omega = \Omega_1 + \Omega_2\)，且 \(\Omega_1, \Omega_2\) 关于 Oxy 平面对称，则：
\[ \int\limits_{\Omega}f(P)\mathrm{d}\Omega = \begin{cases}0 & f(x, y, -z) = - f(x, y, z) \\ 2\int\limits_{\Omega_1}f(P)\mathrm{d}\Omega & f(x, y, -z) = f(x, y, z)\end{cases} \]
  • 若 \(\Omega = \Omega_3 + \Omega_4\)，且 \(\Omega_3, \Omega_5\) 关于 Oyz 平面对称，则：
\[ \int\limits_{\Omega}f(P)\mathrm{d}\Omega = \begin{cases}0 & f(-x, y, z) = - f(x, y, z) \\ 2\int\limits_{\Omega_3}f(P)\mathrm{d}\Omega & f(-x, y, z) = f(x, y, z)\end{cases} \]
  • 若 \(\Omega = \Omega_5 + \Omega_6\)，且 \(\Omega_5, \Omega_6\) 关于 Ozx 平面对称，则：
\[ \int\limits_{\Omega}f(P)\mathrm{d}\Omega = \begin{cases}0 & f(x, -y, z) = - f(x, y, z) \\ 2\int\limits_{\Omega_5}f(P)\mathrm{d}\Omega & f(x, -y, z) = f(x, y, z)\end{cases} \]

分两种情况，原理同上，故不再详细讨论。

应用⚓︎

设密度函数 \(\rho = \mu(P) = \mu(x, y, z)\) 连续，求空间闭形体 \(\Omega \subset \bm{R}^3\) 的质心坐标，设为 \((\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})\)。

总质量 \(M = \int\limits_\Omega \mu (P) \mathrm{d}\Omega\)

\[ \overline{x} = \dfrac{\int\limits_{\Omega} \mu(P) x \mathrm{d}\Omega}{M} \quad \overline{y} = \dfrac{\int\limits_{\Omega} \mu(P) y \mathrm{d}\Omega}{M} \quad \overline{z} = \dfrac{\int\limits_{\Omega} \mu(P) z \mathrm{d}\Omega}{M} \]

设 \(\Omega \subset \bm{R}^3\) 的密度函数 \(\rho = \mu(P)\) 连续，求该物体的动能和关于 L 轴的转动惯量。

若 \(\Omega \subset \mathbf{R}^3\)(\(\Omega\) 是空间曲线 / 曲面 / 立体 )

  • 当 L 是 Oz 轴时，\(I_z = \int\limits_\Omega (x^2 + y^2) \mu(P) \mathrm{d}\Omega = \int\limits_\Omega (x^2 + y^2) \mu(x, y, z) \mathrm{d}\Omega\)
  • 当 L 是 Ox 轴时，\(I_x = \int\limits_\Omega (y^2 + z^2) \mu(P) \mathrm{d}\Omega = \int\limits_\Omega (y^2 + z^2) \mu(x, y, z) \mathrm{d}\Omega\)
  • 当 L 是 Oy 轴时，\(I_y = \int\limits_\Omega (z^2 + x^2) \mu(P) \mathrm{d}\Omega = \int\limits_\Omega (z^2 + x^2) \mu(x, y, z) \mathrm{d}\Omega\)

若 \(\Omega \subset \mathbf{R}^2\)(\(\Omega\) 是平面曲线或平面区域 )

  • 当 L 是 Ox 轴时，\(I_x = \int\limits_{\Omega}y^2 \mu(P)\mathrm{d}\Omega = \int\limits_\Omega y^2 \mu(x, y) \mathrm{d}\Omega\)
  • 当 L 是 Oy 轴时，\(I_y = \int\limits_{\Omega}x^2 \mu(P)\mathrm{d}\Omega = \int\limits_\Omega x^2 \mu(x, y) \mathrm{d}\Omega\)

设 \(\Omega \subset \bm{R}^3\)，\(\Omega\) 的密度函数 \(\rho = \mu(P) = \mu(x, y, z)\) 连续，\(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 是一质点，质量为 m，求 \(\Omega\) 对质点 \(P_0\) 的引力。

  • \(F_x = Gm\int\limits_\Omega \dfrac{\mu(P)(x - x_0)}{r^3}\mathrm{d}\Omega\)
  • \(F_y = Gm\int\limits_\Omega \dfrac{\mu(P)(y - y_0)}{r^3}\mathrm{d}\Omega\)
  • \(F_z = Gm\int\limits_\Omega \dfrac{\mu(P)(z - z_0)}{r^3}\mathrm{d}\Omega\)

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