第 1 章 概率论的基本概念⚓︎

样本空间，随机事件⚓︎

概念⚓︎

随机试验的特点：

• 可以在相同的条件下重复进行
• 每次试验可能出现的结果是不确定的，但能事先知道试验的所有可能结果
• 每次试验完成前不能预知哪一个结果会发生

• 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合，包括：
  • 有限样本空间
  • 无限样本空间
    • 可数（与自然数集一一对应）
    • 不可数（任意实数区间）
• 样本点：随机试验的每一个结果
• 随机事件（简称事件）：样本空间的任一子集
• 基本事件：只含有一个样本点的事件
• 事件发生：试验所出现的结果（即样本点）属于某一事件，即这一事件所包含的样本点恰好为此次试验的结果
• 样本空间 \(S\) 可视为一事件，这样的事件必定发生，被称为必然事件
• 空集 \(\emptyset\) 也可视为一事件，被称为不可能事件

基本运算⚓︎

• 包含 / 包含于：\(A \supset B/B \subset A\)
• 相等：\(A = B \Leftrightarrow (A \subset B) \wedge (B \subset A)\)
• 和事件：\(A \cup B = \{x: x \in A \ \mathrm{or}\ x \in B\}\)
  • 有限个事件：\(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\)
  • 无限个事件：\(\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty} A_i\)
• 积事件：\(A \cap B = AB = \{x: x \in A \ \mathrm{and}\ x \in B\}\)
  • 有限个事件：\(\bigcap\limits_{i=1}^n A_i\)
  • 无限个事件：\(\bigcap\limits_{i=1}^{+\infty} A_i\)
• 互不相容 / 互斥：\(A \cap B = \emptyset\)
• 逆事件 / 对立事件：\((A \cap B = \emptyset) \wedge (A \cup B = S)\)，记作 \(\overline{A}\)，即 \(\overline{A} = \{x: x \notin A\}\)
• 差事件：\(A - B = A \cap \overline{B} = \{x: x \in A \wedge x \notin B\}\)

维恩图：

运算规则：

• 交换律：
  • \(A \cup B = B \cup A\)
  • \(A \cap B = B \cap A\)
• 结合律
  • \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\)
  • \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\)
• 分配律
  • \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
  • \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
• 德摩根定律
  • \(\overline{\bigcup\limits_{j=1}^n A_j} = \bigcap\limits_{j=1}^n \overline{A_j}\)
  • \(\overline{\bigcap\limits_{j=1}^n A_j} = \bigcup\limits_{j=1}^n \overline{A_j}\)

频率与概率⚓︎

频率⚓︎

• 频数 \(n_A\)：事件 \(A\) 在 \(n\) 次重复试验中发生的次数（\(0 \le n_A \le n\)）
• 频率 \(f_n(A) = \dfrac{n_A}{n}\)

频率的性质：

• 对任一事件 \(A\)，\(0 \le f_n(A) \le 1\)
• \(f_n(S) = 1\)
• 若 \(A \cap B = \emptyset\)，则 \(f_n(A\ cup B) = f_n(A) + f_n(B)\)
  • 扩展版：若 \(A_1, A_2, \dots, A_k(k \ge 3)\) 两两互斥时， $$ f_n(\bigcup\limits_{j=1}^k A_j) = \sum\limits_{j=1}^kf_n(A_j) $$

概率⚓︎

• 定义 1：\(A\) 的频率 \(f_n(A)\) 的稳定值 \(p\) 被认为是事件 \(A\) 的概率。

• 定义 2：设样本空间 \(S\) 的任一事件 \(A\)，定义一个实数 \(P(A)\)，若它满足以下三条公理：

  • 非负性：\(P(A) \ge 0\)
  • 规范性：\(P(S) = 1\)
  • 可列可加性：对 \(S\) 中可列个两两互斥的事件 \(A_1, A_2, \dots, A_n, \dots\)（即 \(A_iA_j=\emptyset, i \ne j, i, j = 1, 2, \dots\)），有 \(P(\bigcap\limits_{j=1}^{+\infty}A_j) = \sum\limits_{j=1}^{+\infty}P(A_j)\)

  则称 \(P(A)\) 为事件 \(A\) 发生的概率。

根据定义 2，可以引申出以下性质：

• 有限可加性：对于有限个两两互斥的事件，有 \(P(\bigcap\limits_{j=1}^{n}A_j) = \sum\limits_{j=1}^{n}P(A_j)\)
• \(P(A) = 1 - P(\overline{A})\)
• \(P(\emptyset) = 0\)
• 当 \(A \supset B\) 时，\(P(A-B) = P(A) - P(B) \Rightarrow P(A) \ge P(B)\)
• \(P(A) \le P(S) = 1\)
• \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)
  • 推广： $$ \begin{align} P(\bigcup\limits_{j=1}^n A_j) = & \sum\limits_{j=1}^nP(A_j) - \sum\limits_{i < j}(A_iA_j) + \sum\limits_{i < j < k}P(A_iA_jA_k) - \dots + \notag \ & (-1)^{n-1}P(A_1A_2 \dots A_n),\quad n \ge 1 \notag \end{align} $$

等可能概型⚓︎

一个随机试验，如果满足下列性质：

• 有限性：样本空间的样本点数有限
• 等可能性：每一个样本点出现的概率相等

那么称这个试验为等可能概型 / 古典概型

若样本空间为 \(S = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}(n \ge 1)\)，随机事件 \(A = \{e_{i_1}, e_{i_2}, \dots, e_{i_l}\}\)，其中 \(i_1, \dots, i_l\) 是 \(1, 2, \dots, n\) 中某 \(l(l \ge 1)\) 个不同的值，则：

例题

这些题目虽然不难，但是它们的计算结果都有些出乎意料，还挺有意思的。

例 1 例 2

条件概率⚓︎

事件的独立性与独立检验⚓︎

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