Chap 5: Initial-Value Problems for Ordinary Differential Equations⚓︎

The Elementary Theory of Initial-Value Problems⚓︎

1 阶常微分方程(ordinary differential equations, ODE) 的初值问题(initial-value problems, IVP)：

第一个方程表达的意思的是（未知）函数 \(y\) 随自变量 \(t\)（往往是时间）的变化率是一个关于 \(t, y\) 的（已知）函数；第二个方程就是初始条件。

目标：在一组网格点 (mesh points) \(a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b\) 上（通常是等间距的）计算 \(y(t)\) 的近似值。也就是说，计算 \(w_i \approx y(t_i) = y_i\ (i = 1, \dots, n)\)。

Euler's Method⚓︎

继续往下阅读前，不妨回顾一下前面提出的目标。

\(y'(t_0) \approx \dfrac{y(t_0 + h) - y(t_0)}{h}\ \Rightarrow\ y(t_1) \approx y(t_0) + hy'(t_0) = \alpha + hf(t_0, \alpha)\)

其中 \(h\) 为步长。

欧拉法(Euler's method) 的核心是用切线近似曲线，它通过差分方程(difference equations) 来计算近似值：\(\begin{cases}w_0 = \alpha \\ w_{i+1} = w_i + hf(t_i, w_i)\end{cases}\ (i = 0, \dots, n - 1)\)

代入舍入误差后，差分方程为：\(\begin{cases}w_0 = \alpha \textcolor{red}{+ \delta_0} \\ w_{i+1} = w_i + hf(t_i, w_i) \textcolor{red}{+ \delta_{i+1}}\end{cases}(i = 0, \dots, n - 1)\)

High Order Taylor Methods⚓︎

欧拉法的局部截断误差：

所以欧拉法本质上是泰勒展开式的 1 阶形式，换句话说我们可通过 \(n = 1\) 时泰勒展开式得到的欧拉法近似表示 \(y(t)\)。

高阶泰勒法公式为：

对于阶数为 \(n\) 的泰勒法，其对应的差分方程为：

其中 \(T^{(n)}(t_i, w_i) = f(t_i, w_i) + \dfrac{h}{2}f'(t_i, w_i) + \dots + \dfrac{h^{n-1}}{n!} f^{(n-1)}(t_i, w_i)\)

若 \(y \in C^{n+1}[a, b]\)，那么局部截断误差是 \(O(h^n)\)。

Other Euler's Methods⚓︎

• 隐式欧拉法(implicit Euler's method)

  • \(y'(t_0) \approx \dfrac{y(t_0) - y(t_0 - h)}{h}\ \Rightarrow\ \textcolor{red}{y(t_1)} \approx y(t_0) + hy'(t_1) + \alpha + hf(t_1, \textcolor{red}{y(t_1)})\)

    

  • 差分方程为 \(\begin{cases}w_0 = \alpha \\ \textcolor{red}{w_{i+1}} = w_i + hf(t_{i+1}, \textcolor{red}{w_{i+1}})\end{cases} (i = 0, \dots, n - 1)\)

    • 之所以称为“隐式”，是因为差分方程左右两边都有 \(w_{i+1}\)，这意味着我们需要通过解方程得到 \(w_{i+1}\)，而无法像一般的欧拉法（相对地，我们将其称为显式欧拉法）那样直接计算得到 \(w_{i+1}\)
  • 通常以迭代形式求解 \(w_{i+1}\)，其初始值通过显式法给出
  • 隐式欧拉法的局部截断误差为 \(\tau_{i+1} = \dfrac{y_{i+1} - w_{i+1}}{h} = -\dfrac{h}{2}y''(\xi_i) = O(h)\)
  • 相比显式法，该方法更为稳定，因为计算 \(w_{i+1}\) 时用到了未来的信息 \(t_{i+1}, w_{i+1}\)，从而能更准确地预测未来趋势，对解的约束也就越强；而显式法只用了当前的信息 \(t_{i}, w_{i}\)，其预测结果自然会有更大的偏差

• 梯形法(trapezoidal method)

  • 差分方程为 \(\begin{cases}w_0 = \alpha \\ \textcolor{red}{w_{i+1}} = w_i + \dfrac{h}{2}[f(t_i, w_i) + f(t_{i+1}, \textcolor{red}{w_{i+1}})]\end{cases} (i = 0, \dots, n - 1)\)
  • 注：局部截断误差为 \(O(h^2)\)；但必须以迭代方式求解隐式方程

• 两步法(double-step method)

  • \(y'(t_0) = \dfrac{1}{2h}[y(t_0 + h) - y(t_0 - h)] - \dfrac{h^2}{6}y^{(3)}(\xi_1)\ \Rightarrow\ y(t_2) \approx y(t_0) + 2hf(t_1, y(t_1))\)
  • 差分方程为 \(\begin{cases}w_0 = \alpha \\ w_{i+1} = w_{i-1} + 2hf(t_i, w_i)\end{cases} (i = 1, \dots, n - 1)\)
  • 该方法要求知道两个初始点，故得其名；而先前讨论的方法都是单步法(single-step methods)
    • 也就是说，两步法除了要知道 \(w_0\)（即原来的初值）外，还要知道 \(w_1\) 的值，因此需要先用单步法得到 \(w_1\) 后再用多步法
  • 若假设 \(w_{i-1} = y_{i-1}, w_i = y_i\)，那么局部截断误差为 \(O(h^2)\)
  • 由于两步法用到了更多点的信息，因此能得到更精确的近似结果

Runge-Kutta Methods⚓︎

Runge-Kutta 法是一种具有高阶局部截断误差的单步方法，无需计算 \(f\) 的导数。

思路：在单步法中，某个线段从 \((t_i, w_i)\) 出发，以某个斜率延伸至下一个点 \((t_{i+1}, w_{i+1})\)。我们可以通过找到更好的斜率来改善结果。

观察以下修改过的欧拉法（即改进欧拉法，下面会介绍的）：

• 斜率是否必须是 \(K_1, K_2\) 的平均值？
• 步幅是否必须为 \(h\)？

我们将其进一步泛化（从一般的平均值 -> 加权平均值）：

我们要找到 \(\lambda_1, \lambda_2, p\)，使得该方法的局部阶段误差的阶数为 2。

1. 写出 \(K_2\) 在 \((t_i, y_i)\) 上的泰勒展开式：

   \[ \begin{align} K_2 & = f(t_1 + ph, y_i + phK_1) \notag \\ & = f(t_i, y_i) + phf_t(t_i, y_i) + phK_1f_y(t_i, y_i) + O(h^2) \notag \\ & = y'(t_i) + phy''(t_i) + O(h^2) \notag \end{align} \]
   注

   \[ \begin{align} y''(t) & = \dfrac{d}{dt}f(t, y) \notag \\ & = f_t(t, y) + f_y(t, y) \dfrac{dy}{dt} \notag \\ & = f_t(t, y) + f_y(t, y)f(t, y) \notag \end{align} \]

2. 将 \(K_2\) 代入到第一个式子中：

   \[ \begin{align} w_{i+1} & = y_i + h\{\lambda_1 y'(t_i) + \lambda_2[y'(t_i) + phy''(t_i) + O(h^2)]\} \notag \\ & = y_i + (\lambda_1 + \lambda_2) hy'(t_i) + \lambda_2 ph^2 y''(t_i) + O(h^3) \notag \end{align} \]

3. 找到 \(\lambda_1, \lambda_2, p\)，使得 \(\tau_{i+1} = (y_{i+1} - w_{i+1}) / h = O(h^2)\)

比对上面两个方程，可以得到：\(\lambda_1 + \lambda_2 = 1, \lambda_2 p = \dfrac{1}{2}\)（3 个未知数，2 个方程）

所以有无穷多个解。而由这两个方程得到的一系列方法被称为 2 阶龙格 - 库塔法(Runge-Kutta method of order 2)。

计算更高精度：

最流行的是经典 4 阶龙格 - 库塔法：

Multistep Methods⚓︎

思路：使用 \(y, y'\) 在多个网格点 (mesh points) 上的线性组合，以得到更好的近似值 \(y(t_{i+1})\)。

多步法(multistep method) 的一般形式如下：

• 在隐式法中，\(b_m \ne 0\)
• 在显式法中，\(b_m = 0\)

具体方法：从积分中获取。在 \([t_i, t_{i+1}]\) 上对 \(y'(t) = f(t, y)\) 进行积分，得到：

关键是近似计算积分。不同的近似方法会得到不同的差分方程。

Adams-Bashforth Explicit \(m\)-step Technique⚓︎

使用牛顿后向差分公式，在 \((t_i, f_i), (t_{i-1}, f_{i-1}), \dots, (t_{i+1-m}, f_{i+1-m})\) 上对 \(f\) 进行插值，并得到 \(P_{m-1}(t)\)。或者令 \(t = t_i + sh, s \in [0, 1]\)，我们有：

最后得到显式公式：\(w_{i+1} = w_i + h\int_0^1 P_{m-1}(t_i + sh)ds\)

注

一般来说，对于 \(\tau = A_mh^my^{(m+1)}(\xi_i)\)，\(A_m\) 和系数 \(f_i, f_{i-1}, f_{i+1-m}\) 能从表格中找到。

Adams-Bashforth 4 步显式法：\(w_{i+1} = w_i + \dfrac{5}{24} (55f_i - 59 f_{i-1} + 37 f_{i-2} - 9f_{i-3})\)

Adams-Moulton Implicit \(m\)-step Technique⚓︎

使用牛顿前向差分公式，在 \((t_{i+1}, \textcolor{red}{f_{i+1}}), (t_i, f_i), \dots, (t_{i+1-m}, f_{i+1-m})\) 上对 \(f\) 进行插值，并得到 \(P_m(t)\)。类似的，我们可以得到一组 \(\tau_{i+1} = B_m h^{m+1} y^{(m+2)} (\xi_i)\) 的隐式公式。

Adams-Moulton 3 步隐式法：\(w_{i+1} = w_i + \dfrac{h}{24} (9 f_{i+1} + 19 f_i - 5 f_{i-1} + f_{i-2})\)

Adams Predictor-Corrector System⚓︎

1. 用 Runge-Kutta 法计算前 \(m\) 个初始值（为多步法（\(m\) 步）的启动做准备）
2. 用 Adams-Bashforth 显式法进行预测（效率高）
3. 用 Adams-Moulton 隐式法进行校正（提高精度，更稳定）

Derive from Taylor Expansion⚓︎

回顾多步法的一般形式。

思路：扩展在关于 \(t_i\) 的泰勒级数里的 \(y_{i-1}, \dots, y_{i+1-m}\) 和 \(f_{i+1}, f_{i-1}, \dots, f_{i+1-m}\)，并让 \(h^k\) 的系数相等，以获得 \(a_0, \dots, a_{m-1}\) 和 \(b_0, \dots, b_m\)。

例子

例 1 例 2

题目解答

请求出形如以下形式的 4 阶公式：

\[ w_{i+1} = \textcolor{red}{a_2}w_i + \textcolor{red}{a_1}w_{i-1} + \textcolor{red}{a_0}w_{i-2} + h[\textcolor{red}{b_3}f_i + \textcolor{red}{b_2}f_{i-1} + \textcolor{red}{b_1}f_{i-2} + \textcolor{red}{b_0}f_{i-3}] \]

在 \(t_i\) 处扩展 \(y_{i-1}, y_{i-2}, f_{i-1}, f_{i-2}, f_{i-3}\) 和 \(y(t_{i+1})\)

假设 \(w_i = y_i\) 的情况下，\(\tau_{i+1} = \dfrac{y_{i+1} - w_{i+1}}{h} = O(h^4)\)

\[ \begin{align} y_{i-1} = & y_i - hy_i' + \dfrac{1}{2} h^2 y_i'' - \dfrac{1}{6}h^3 y_i''' + \dfrac{1}{24}h^4 y_i^{(4)} + O(h^5) \notag \\ y_{i-2} = & y_i - 2hy_i' + 2 h^2 y_i'' - \dfrac{4}{3}h^3 y_i''' + \dfrac{2}{3}h^4 y_i^{(4)} + O(h^5) \notag \\ f_{i-1} = & y_i' - hy_i'' + \dfrac{1}{2}h^2 y_i''' - \dfrac{1}{6}h^3y_i^{(4)} + O(h^4) \notag \\ f_{i-2} = & y_i' - 2hy_i'' + 2h^2 y_i''' - \dfrac{4}{3}h^3y_i^{(4)} + O(h^4) \notag \\ f_{i-3} = & y_i' - 3hy_i'' + \dfrac{9}{2}h^2 y_i''' - \dfrac{9}{2}h^3y_i^{(4)} + O(h^4) \notag \\ \end{align} \]

\[ y(t_{i+1}) = y_i + hy_i' + \dfrac{1}{2}h^2y_i'' + \dfrac{1}{6}h^3 y_i''' + \dfrac{1}{24}h^4 y_i^{(4)} + O(h^5) \]

有 5 个方程，7 个未知量。

• 令 \(a_0 = a_1 = 0\) -> Adams-Bashforth 显式法
• 用 \(f_{i+1}\) 替换 \(f_{i-1}\)，并令 \(a_0 = a_1 = 0\) -> Adams-Moulton 隐式法

• 用 \(w_{i-3}\) 替换 \(f_{i-3}\)，我们能得到另一组阶数为 4 的方法，包括了显式 Milne 法：

  \[ w_{i+1} = w_{i-3} + \dfrac{4h}{3}(2f_i - f_{i-1} + 2f_{i-2}) \]

  其截断误差为 \(\dfrac{14}{45}h^4y^{(5)}(\xi_i), \xi_i \in (t_{i-3}, t_{i+1})\)

• 令 \(a_0 = 0, a_1 = 1\) -> Simpson 隐式法

  \[ w_{i+1} = w_{i-1} + \dfrac{h}{3}(f_{i+1} + 4f_i + f_{i-1}) \]

  其截断误差为 \(-\dfrac{h^4}{90}y^{(5)}(\xi_i), \xi_i \in (t_{i-1}, t_{i+1})\)

题目解答

解析过程来自 Gemini 2.5 pro，并且也通过了笔者的验证。

为了找到使局部截断误差最小的系数，我们的策略是，假设近似解 \(w_i\) 等于真实解 \(y(t_i)\)，然后将公式中的每一项围绕点 \(t_i\) 进行泰勒展开。通过匹配展开后 \(h\) 的同次幂的系数，我们使这个公式对于尽可能高阶的多项式都是精确的，从而达到最小化截断误差的目的。

我们把公式中的 \(y_{i+1}\), \(y_{i-1}\) 和 \(y'_{i+1}\) ( 即 \(f_{i+1}\)) 围绕 \(t_i\) 展开。设步长为 \(h\)。

• \(y_{i+1} = y(t_i + h) = y_i + h y'_i + \frac{h^2}{2} y''_i + \frac{h^3}{6} y'''_i + O(h^4)\)
• \(y_{i-1} = y(t_i - h) = y_i - h y'_i + \frac{h^2}{2} y''_i - \frac{h^3}{6} y'''_i + O(h^4)\)
• \(y'_{i+1} = y'(t_i + h) = y'_i + h y''_i + \frac{h^2}{2} y'''_i + O(h^3)\)

将上述展开式代入原公式中：

\(y_i + h y'_i + \frac{h^2}{2} y''_i + ... = a_0 y_i + a_1(y_i - h y'_i + \frac{h^2}{2} y''_i - ...) + \beta h(y'_i + h y''_i + ...)\)

现在，我们按 \(y\) 在 \(t_i\) 点的各阶导数（\(y_i, y'_i, y''_i\)）来合并与整理等式右边的项：

\(y_i + h y'_i + \frac{h^2}{2} y''_i + ... = (a_0+a_1)y_i + h(-a_1+\beta)y'_i + h^2(\frac{a_1}{2}+\beta)y''_i + ...\)

为了让等式两边尽可能相等，我们令等式两边 \(h\) 的低次幂项的系数相等。这会给我们一个关于 \(a_0, a_1, \beta\) 的线性方程组。

• 匹配 \(y_i\) 的系数 ( 即 \(h^0\) 项 )：\(1 = a_0 + a_1\)（方程 1）

• 匹配 \(y'_i\) 的系数 ( 即 \(h^1\) 项 )：\(h(1 \cdot y'_i) = h(-a_1 + \beta)y'_i \implies 1 = -a_1 + \beta\)（方程 2）

• 匹配 \(y''_i\) 的系数 ( 即 \(h^2\) 项 )：\(h^2(\frac{1}{2} \cdot y''_i) = h^2(\frac{a_1}{2} + \beta)y''_i \implies \frac{1}{2} = \frac{a_1}{2} + \beta\)（方程 3）

解上述三元一次方程，最终得到：

• \(a_0 = \frac{4}{3}\)
• \(a_1 = -\frac{1}{3}\)
• \(\beta = \frac{2}{3}\)

Higher-Order Equations and Systems of Differential Equations⚓︎

m-th Order System of 1st-Order IVP⚓︎

初始条件为：\(u_1(a) = \alpha_1, u_2(a) = \alpha_2, \dots, u_m(a) = \alpha_m\)

令 \(\bm{y} = \begin{bmatrix}u_1 \\ \vdots \\ u_m\end{bmatrix}, \bm{f} = \begin{bmatrix}f_1 \\ \vdots \\ f_m\end{bmatrix}, \bm{\alpha} = \begin{bmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_m\end{bmatrix}\)，可以得到：\(\begin{cases}\bm{y}'(t) = \bm{f}(t, \bm{y}) \\ \bm{y}(a) = \bm{\alpha}\end{cases}\)

Higher-Order Differential Equation⚓︎

思路：将高阶的微分方程归约到一个 1 阶的微分方程组。

令 \(u_1(t) = y(t), u_2(t) = y'(t), \dots, u_m(t) = y^{(m-1)}(t)\)，得到：

初始条件为 \(u_1(a) = \alpha_1, u_2(a) = \alpha_2, \dots, u_m(a) = \alpha_m\)。

例子

题目解答

使用欧拉法求解以下 IVP（\(h = 0.1\)）

\[ \begin{align} & y'' - 2y' + y = te^t - 1.5t + 1 \quad \text{for } 0 \le t \le 0.2 \notag \\ & y(0) = 0, y'(0) = -0.5 \notag \end{align} \]

令 \(u_1(t) = y(t), u_2(t) = y'(t)\)，得到：

\[ \begin{cases} u_1'(t) = u_2(t) \\ u_2'(t) = te^t - 1.5t + 1 - u_1(t) + 2u_2(t) \end{cases} \]

初始条件为 \(u_1(0) = 0, u_2(0) = -0.5\)

根据

\[ \begin{align} w_{i+1} & = w_1 + h\Big[\dfrac{1}{2}K_1 + \dfrac{1}{2}K_2\Big] \notag \\ K_1 & = f(t_i, w_i) \notag \\ K_2 & = f(t_i + h, w_i + hK_1) \notag \end{align} \]

，计算：

精确解为：\(y(t) = \dfrac{t^3 e^t}{6} - te^t + 2e^t - 1.5t - 2\)

Stability⚓︎

讨论

题目解答

使用显式欧拉法、隐式欧拉法，以及改进欧拉法解决以下初值问题：\(y'(t) = -30y(t), y(0) = 1\)，区间为 \([0, 0.5], h = 0.1\)。

定义

将某个方法用在一个简单的测试方程(test equation) 上：\(y' = \lambda y, y(0) = \alpha\)，其中 \(\lambda\) 是复数且 \(\text{Re}(\lambda) < 0\)。假设舍入误差仅在初始点被引入。如果这个初始误差在特定步幅 \(h\) 上被缩小的话，那么该方法关于 \(H = \lambda h\) 是绝对稳定的(absolutely stable)。所有 \(H\) 构成的集合称为绝对稳定性区域(the region of absolute stability)。

当 \(A\) 的绝对稳定性区域大于 \(B\) 时，称法 \(A\) 比法 \(B\) 更稳定。

例子

例子

例 1 例 2 例 3 例 4 例 5

考虑显式欧拉法 \(w_{i+1} = w_i + hf_i\)

\[ w_{i+1} = w_i + h\lambda w_i = \alpha(1 + H)^{i+1} \]

这里令 \(H = h \lambda\)

\[ \alpha^* = \alpha + \varepsilon \Rightarrow w_{i+1}^* = \alpha^* (1 + H)^{i+1} \Rightarrow \varepsilon_{i+1} = w_{i+1}^* - w_{i+1} = (1 + H)^{i + 1}\varepsilon \]

因此要想保证误差减小，必须满足 \(|1 + H| < 1\)，对应的稳定性区域（绿色部分）如右图所示。

考虑隐式欧拉法 \(w_{i+1} = w_i + hf_{i+1}\)

\[ w_{i+1} = \Big(\dfrac{1}{1 - H}\Big)w_i \Rightarrow \varepsilon_{i+1} = \Big(\dfrac{1}{1 - H}\Big)^{i+1} \varepsilon \]

因此要想保证误差减小，必须满足 \(|1 - H| > 1\)，对应的稳定性区域（绿色部分）如右图所示。

注

它是无条件稳定的(unconditionally stable)，因为稳定性区域包含了整个左半平面，即 \(\text{Re}(\lambda) < 0\) 的情况。

考虑 2 阶 Runge-Kutta 隐式法：

\[ \begin{cases} w_{i+1} = w_i + hK_1 \\ K_1 = f(t_i + \dfrac{h}{2}, w_i + \dfrac{h}{2}K_1) \end{cases} \]

可以得到 \(K_1 = \dfrac{\lambda w_i}{1 - \frac{\lambda h}{2}} \Rightarrow w_{i+1} = \Big(\dfrac{2+H}{2-H}\Big)w_i \Rightarrow \Big|\dfrac{2+H}{2-H}\Big| < 1\)

注

它是无条件稳定的(unconditionally stable)。

补充：1-4 阶的 Runge-Kutta 显式法

\[ \begin{cases} w_{i+1} & = w_i + \dfrac{h}{6} (K_1 + 2K_2 + 2K_3 + 2K_4) \\ K_1 & = f(t_i, w_i) \\ K_2 & = f(t_i + \dfrac{h}{2}, w_i + \dfrac{h}{2} K_1) \\ K_3 & = f(t_i + \dfrac{h}{2}, w_i + \dfrac{h}{2} K_2) \\ K_4 & = f(t_i + h, w_i + \dfrac{h}{2} K_3) \\ \end{cases} \]

\[ \begin{align} K_1 & = \lambda w_i \notag \\ K_2 & = \lambda w_i (1 + \dfrac{H}{2}) \notag \\ K_3 & = \lambda w_i (1 + \dfrac{H}{2} + \dfrac{H^2}{4}) \notag \\ K_4 & = \lambda w_i (1 + H + \dfrac{H^2}{2} + \dfrac{H^3}{4}) \notag \\ w_{i+1} & = w_i \Big(1 + H + \dfrac{H^2}{2} + \dfrac{H^3}{6} + \dfrac{H^4}{24}\Big) \notag \end{align} \]

题目解答

考虑以下 IVP 组（刚性组 (stiff system)）：

\[ \begin{cases} u_1' & = 9u_1 + 24u_2 + 5 \cos t - \dfrac{1}{3} \sin t, \quad u_1(0) = \dfrac{4}{3} \\ u_2' & = -24u_1 - 51u_2 - 9 \cos t + \dfrac{1}{3} \sin t, \quad u_1(0) = \dfrac{2}{3} \end{cases} \]

如何选择步幅 \(h\)，以保证应用欧拉显式法之后的稳定性？

唯一解为：\(\begin{cases}u_1(t) = 2e^{-3t} - e^{-39t} + \dfrac{1}{3} \cos t \\ u_2(t) = -e^{-3t} + 2e^{-39t} - \dfrac{1}{3} \cos t\end{cases}\)。

矩阵 \(\begin{bmatrix}9 & 24 \\ -24 & 51\end{bmatrix}\) 的特征值为 \(\lambda_1 = -3, \lambda_2 = -39\)

\(-2 < \lambda h < 0 \Rightarrow h < \dfrac{2}{39} \approx 0.051\)

题目解答

以下解答来自 Gemini 2.5 pro，且经过笔者验证。

1. 二阶龙格 - 库塔隐式法

   公式为 \(w_{i+1}=w_{i}+hK_{1}\)，其中 \(K_{1}=f(t_{i}+\frac{h}{2},w_{i}+\frac{h}{2}K_{1})\)。

   将 \(f(t,y) = \lambda y\) 代入 \(K_1\) 的方程：

   \(K_1 = \lambda(w_i + \frac{h}{2}K_1) \implies K_1(1-\frac{h\lambda}{2})=\lambda w_i \implies K_1 = \frac{\lambda w_i}{1-\frac{h\lambda}{2}}\)

   将其代入主公式：

   \(w_{i+1} = w_i + h(\frac{\lambda w_i}{1-\frac{h\lambda}{2}}) = w_i(1+\frac{h\lambda}{1-\frac{h\lambda}{2}}) = w_i(\frac{1-\frac{h\lambda}{2}+h\lambda}{1-\frac{h\lambda}{2}}) = w_i(\frac{1+\frac{h\lambda}{2}}{1-\frac{h\lambda}{2}})\)

   令 \(z=h\lambda\)，增长因子为 \(Q(z) = \frac{1+z/2}{1-z/2}\)。绝对稳定区域要求 \(|Q(z)| \le 1\)。

   \(|\frac{1+z/2}{1-z/2}| \le 1 \implies |1+z/2| \le |1-z/2|\)

   设 \(z = x+iy\)，则 \(|1+\frac{x}{2}+i\frac{y}{2}| \le |1-\frac{x}{2}-i\frac{y}{2}|\)。

   两边平方得到 \((1+\frac{x}{2})^2+(\frac{y}{2})^2 \le (1-\frac{x}{2})^2+(-\frac{y}{2})^2\)，化简得 \(1+x \le 1-x \implies 2x \le 0 \implies x \le 0\)。

   这意味着 \(Re(z) = Re(h\lambda) \le 0\)。该方法的绝对稳定区域是整个复平面的左半平面。

2. 亚当斯 - 莫尔顿一阶隐式法（即梯形法）

   公式为 \(w_{i+1}=w_{i}+\frac{h}{2}(f_{i+1}+f_{i})\)。

   将 \(f_i = \lambda w_i\) 和 \(f_{i+1} = \lambda w_{i+1}\) 代入：

   \(w_{i+1} = w_i + \frac{h}{2}(\lambda w_{i+1} + \lambda w_i)\)

   \(w_{i+1}(1-\frac{h\lambda}{2}) = w_i(1+\frac{h\lambda}{2})\)

   \(w_{i+1} = w_i(\frac{1+\frac{h\lambda}{2}}{1-\frac{h\lambda}{2}})\)

   这得到了与第一种方法完全相同的增长因子。因此，它的绝对稳定区域同样是整个复平面的左半平面。

综上，两种方法的绝对稳定区域是相同的。

对应的作业练习📝

对应小测 13、14、15💯