Chap 5: Initial-Value Problems for Ordinary Differential Equations⚓︎

Runge-Kutta Methods⚓︎

目标：一种具有高阶局部截断误差的单步方法，无需计算 \(f\) 的导数。（？）

思路：在这个单步方法中，我们考虑一条在点 \((t_i, w_i), (t_{i+1}, w_{i+1})\) 之间的线段的斜率。我们可以通过找到更好的斜率来改善结果。

观察欧拉法：

我们将其进一步泛化：

我们要找到 \(\lambda_1, \lambda_2, p\)，使得该方法的局部阶段误差的阶数为 2。

1. 写出 \(K_2\) 在 \((t_i, y_i)\) 上的泰勒展开式：

   \[ \begin{align} K_2 & = f(t_1 + ph, y_i + phK_1) \notag \\ & = f(t_i, y_i) + phf_t(t_i, y_i) + phK_1f_y(t_i, y_i) + O(h^2) \notag \\ & = y'(t_i) + phy''(t_i) + O(h^2) \notag \end{align} \]

2. 将 \(K_2\) 代入到第一个式子中：

   \[ \begin{align} w_{i+1} & = y_i + h\{\lambda_1 y'(t_i) + \lambda_2[y'(t_i) + phy''(t_i) + O(h^2)]\} \notag \\ & = y_i + (\lambda_1 + \lambda_2) hy'(t_i) + \lambda_2 ph^2 y''(t_i) + O(h^3) \notag \end{align} \]

   其中 \(y''(t) = f_y(t, y) + f_y(t, y) f(t, y)\)

3. 找到 \(\lambda_1, \lambda_2, p\)，使得 \(\tau_{i+1} = (y_{i+1} - w_{i+1}) / h = O(h^2)\)

可以得到：\(\lambda_1 + \lambda_2 = 1, \lambda_2 + p = 1\)（3 个未知数，2 个方程）

所以有无穷多个解。而由这两个方程得到的一系列方法被称为 2 阶龙格 - 库塔法(Runge-Kutta method of order 2)。

注：修改后的欧拉法就是龙格 - 库塔法的一种特殊情况（\(p = 1, \lambda_1 = \lambda_2 = \dfrac{1}{2}\)）

计算更高精度：

最受欢迎的是经典的 4 阶龙格 - 库塔法：

Multistep Methods⚓︎

思路：使用 \(y, y'\) 在多个网格点 (mesh points) 上的线性组合，以得到更好的近似值 \(y(t_{i+1})\)

具体方法：从积分中获取。在 \([t_i, t_{i+1}]\) 上对 \(y'(t) = f(t, y)\) 进行积分，得到：

关键是近似计算积分。不同的近似方法会得到不同的差分方程。

Adams-Bashforth Explicit \(m\)-step Technique⚓︎

使用牛顿后向差分公式，在 \((t_i, f_i), (t_{i-1}, f_{i-1}), \dots, (t_{i+1-m}, f_{i+1-m})\) 上对 \(f\) 进行插值，并得到 \(P_{m-1}(t)\)。或者令 \(t = t_i + sh, s \in [0, 1]\)，我们有：

最后得到显式公式：\(w_{i+1} = w_i + h\int_0^1 P_{m-1}(t_i + sh)ds\)

注

一般来说，对于 \(\tau = A_mh^my^{(m+1)}(\xi_i)\)，\(A_m\) 和系数 \(f_i, f_{i-1}, f_{i+1-m}\) 能从表格中找到。

Adams-Bashforth 4 步显式法：\(w_{i+1} = w_i + \dfrac{5}{24} (55f_i - 59 f_{i-1} + 37 f_{i-2} - 9f_{i-3})\)

Adams-Moulton Implicit \(m\)-step Technique⚓︎

使用牛顿前向差分公式，在 \((t_{i+1}, \textcolor{red}{f_{i+1}}), (t_i, f_i), \dots, (t_{i+1-m}, f_{i+1-m})\) 上对 \(f\) 进行插值，并得到 \(P_m(t)\)。类似的，我们可以得到一组 \(\tau_{i+1} = B_m h^{m+1} y^{(m+2)} (\xi_i)\) 的隐式公式。

Adams-Moulton 3 步隐式法：\(w_{i+1} = w_i + \dfrac{h}{24} (9 f_{i+1} + 19 f_i - 5 f_{i-1} + f_{i-2})\)

Adams Predictor-Corrector System⚓︎

1. 用龙格 - 库塔法计算前 \(m\) 个初始值
2. 用 Adams-Bashforth 显式法进行预测
3. 用 Adams-Moulton 隐式法进行纠正

Derive from Taylor Expansion⚓︎

思路：扩展在关于 \(t_i\) 的泰勒级数里的 \(y_{i-1}, \dots, y_{i+1-m}\) 和 \(f_{i+1}, f_{i-1}, \dots, f_{i+1-m}\)，并让 \(h^k\) 的系数相等，以获得 \(a_0, \dots, a_{m-1}\) 和 \(b_0, \dots, b_m\)

Higher-Order Equations and Systems of Differential Equations⚓︎

m-th Order System of 1st-Order IVP⚓︎

初始条件为：\(u_1(a) = \alpha_1, u_2(a) = \alpha_2, \dots, u_m(a) = \alpha_m\)

令 \(\bm{y} = \begin{bmatrix}u_1 \\ \vdots \\ u_m\end{bmatrix}, \bm{f} = \begin{bmatrix}f_1 \\ \vdots \\ f_m\end{bmatrix}, \bm{\alpha} = \begin{bmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_m\end{bmatrix}\)，可以得到：\(\begin{cases}\bm{y}'(t) = \bm{f}(t, \bm{y}) \\ \bm{y}(a) = \bm{\alpha}\end{cases}\)

Higher-Order Differential Equation⚓︎

思路：将高阶的微分方程归约到一个 1 阶的微分方程组。

令 \(u_1(t) = y(t), u_2(t) = y'(t), \dots, u_m(t) = y^{(m-1)}(t)\)，得到：

初始条件为 \(u_1(a) = \alpha_1, u_2(a) = \alpha_2, \dots, u_m(a) = \alpha_m\)。

令 \(u_1(t) = y(t), u_2(t) = y'(t)\)，得到：

初始条件为 \(u_1(0) = 0, u_2(0) = -0.5\)

根据

，计算：

精确解为：\(y(t) = \dfrac{t^3 e^t}{6} - te^t + 2e^t - 1.5t - 2\)

Stability⚓︎

定义

将某个方法用在一个简单的检验方程(test equation) 上：\(y' = \lambda y, y(0) = \alpha\)，其中 \(\text{Re}(\lambda) < 0\)。假设摄入误差仅在初始点被引入。如果这个初始误差在特定步幅 \(h\) 上被缩小的话，那么该方法关于 \(H = \lambda h\) 是绝对稳定的(absolutely stable)。所有 \(H\) 构成的集合称为绝对稳定性区域(the region of absolute stability)。

当 \(A\) 的绝对稳定性区域大于 \(B\) 时，称法 \(A\) 比法 \(B\) 更稳定。

例子

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